11.5. Элементы симплектической геометрии

Как мы видели выше, кокасательное расслоение -мерного многообразия является -мерным многообразием. Любые локальные координаты на определяют канонические локальные координаты на вида в которых любой ковектор То раскладывается как

11.5.1. Форма Лиувилля и симплектическая форма.

«Тавтологическая» -форма (или 1-форма Лиувилля) на кокасательном пространстве

определяется следующим образом. Пусть точка ко касательного расслоения, касательный вектор к в точке А. Обозначим через каноническую проекцию из на М:

Дифференциал проекции есть линейное отображение

Тавтологическая -форма в точке действует на касательный вектор следующим образом:

То есть мы проецируем вектор в вектор а затем действуем ковектором Таким образом,

Название «тавтологическая» объясняется координатным представлением формы В канонических координатах на имеем

В локальных координатах проекция

становится линейным отображением, и ее дифференциал действует следующим образом:

Поэтому

следовательно,

Но поэтому форма имеет в координатах в точности то же выражение

что и ковектор см. (11.16). Впрочем, определение формы не зависит от координат.

Замечание. В механике форма Лиувилля обозначается через

Рассмотрим внешний дифференциал 1-формы s

Дифференциальная -форма называется канонической симплектической структурой на В канонических координатах получаем из (11.17)

Отсюда видно, что форма а невырождена, т. е. билинейная кососимметрическая форма

не имеет ядра:

В базисе касательного пространства

форма имеет блочную матрицу

Форма а замкнута:

так как она точна:

Замечания. (1) Замкнутая невырожденная дифференциальная -форма на -мерном многообразии называется симплектической структурой. Многообразие с симплектической структурой называется симплектическим многообразием. Кокасательное расслоение с канонической симплектической структурой а — наиболее важный пример симплектического многообразия. (2) В механике -форма а известна как форма

11.5.2. Гамильтоновы векторные поля.

С помощью симплектической структуры можно построить гамильтонов формализм на Гамильтониан — это произвольная гладкая функция на ко касательном расслоении:

Каждому гамильтониану можно сопоставить гамильтоново векторное поле

по следующему правилу:

В терминах внутреннего произведения гамильтоново поле — это векторное поле удовлетворяющее равенству

Так как симплектическая форма а невырождена, отображение

есть линейный изоморфизм

поэтому гамильтоново векторное поле в (11.19) существует и единственным образом определяется функцией Гамильтона В канонических координатах на имеем

поэтому в силу (11.18)

Следовательно, гамилътонова система соответствующая

имеет в канонических координатах следующий вид:

Можно рассматривать функции Гамильтона, зависящие от параметра: В этом случае неавтономное гамильтоново векторное поле определяется так же, как в автономном случае.

Поток гамильтоновой системы сохраняет симплектическую форму .

Предложение 11.1. Пусть есть неавтономное гамильтоново векторное поле на Тогда

Доказательство. В силу равенства (11.11) имеем

поэтому утверждение данного предложения можно переписать как

Но производная Ли легко вычисляется по формуле Картана:

Более того, локально справедливо обратное утверждение: если поток сохраняет то он локально гамильтонов. Действительно,

далее,

поэтому

Если форма замкнута, то она локально точна (лемма Пуанкаре), т. е. существует гамильтониан для которого локально

По существу только гамильтоновы потоки сохраняют а (глобально могут возникать «многозначные гамильтонианы»). Если многообразие односвязно, то справедливо глобальное утверждение: поток на гамильтонов тогда и только тогда, когда он сохраняет симплектическую структуру.

Скобка Пуассона гамильтонианов это гамильтониан

который определяется любым из следующих эквивалентных способов:

Очевидно, что скобка Пуассона билинейна и кососимметрична:

В канонических координатах на

Правило Лейбница для скобки Пуассона легко следует из определения:

(здесь обычное поточечное произведение функций ).

Симплектоморфизмы кокасательного расслоения сохраняют гамильтоновы векторные поля; действие симплектоморфизма на гамильтоново векторное поле сводится к действию на гамильтониан как замена переменных:

Это следует из цепочки

В частности, гамильтонов поток переводит гамильтоново поле в гамильтоново:

Инфинитезимальная версия из этого равенства — тождество Якоби для скобки Пуассона. Предложение 11.2.

Доказательство. Любой симплектоморфизм сохраняет скобку Пуассона:

Полагая и дифференцируя при получаем тождество

Якоби

Итак, пространство всех гамильтонианов образует алгебру Ли, произведение в которой задается скобкой Пуассона. Соответствие

есть гомоморфизм из алгебры Ли гамильтонианов в алгебру Ли гамильтоновых векторных полей на Это вытекает из следующего утверждения.

Следствие для любых гамильтонианов

Доказательство. Тождество Якоби можно переписать в

т. е.

Из координатного представления (11.20) легко видеть, что ядро отображения а а состоит из постоянных функций, т. е. это изоморфизм с точностью до констант. С другой стороны, образ этого гомоморфизма содержит далеко не все векторные поля на Действительно, векторное поле общего вида на определяется локально произвольными гладкими функциями от переменных, в то время как гамильтоново векторное поле определяется всего одной функцией от переменных — гамильтонианом.

Теорема 11.1 (Нётер). Функция является первым интегралом гамильтоновой системы

т. е.

тогда и только тогда, когда она коммутирует по Пуассону с гамильтонианом:

Доказательство. Тождество равносильно равенству

Следствие 11.2. Справедливо равенство т. е. любой гамильтониан есть интеграл соответствующей гамильтоновой системы (11.25).

Из тождества Якоби для скобки Пуассона следует также, что множество первых интегралов гамильтоновой системы (11.25) образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона.

Следствие 11.3. Если то Замечание. Построенный гамильтонов формализм обобщается на произвольные симплектические многообразия.

А сейчас мы рассмотрим конструкцию, работающую только на Возьмем векторное поле и определим функцию Гамильтона

линейную на слоях следующим образом:

В канонических координатах на имеем

Из этого координатного представления следует, что

скобка Пуассона гамильтонианов, линейных на слоях в содержит обычную скобку Ли векторных полей на

Гамильтоново векторное поле соответствующее гамильтониану X, называется гамилътоновым лифтом векторного поля Из координатных представлений (11.26), (11.20) видно, что

Перейдем к неавтономным полям. Пусть неавтономное векторное поле, а

есть соответствующий поток на Поток действует на М:

его дифференциал переносит касательные векторы вперед:

а сопряженное к нему отображение переносит ковекторы назад:

Имеем поток на ковекторах (т. е. точках кокасательного расслоения):

Обозначим через неавтономное векторное поле на порождающее поток

Тогда

Поэтому поток является решением задачи Коши

т. е. это левая хронологическая экспонента:

Оказывается, имеется простая связь между неавтономным полем и гамильтонианом

Действительно, поток сохраняет тавтологическую форму поэтому

По формуле Картана

т. е. поле гамильтоново:

Но следовательно,

и равенство (11.27) доказано. Учитывая соотношение (2.18) между левой и правой хронологическими экспонентами, получаем

Доказано следующее утверждение.

Предложение 11.3. Пусть полное неавтономное поле на Тогда

В частности, для автономных векторных полей

11.5.3. Лагранжевы подпространства.

Линейное пространство на котором задана невырожденная билинейная кососимметричная форма называется симплектическим пространством. Например, с канонической симплектической формой является симплектическим пространством.

Любое подпространство симплектического пространства имеет косоортогональное дополнение

Подпространство называется изотропным, если

В силу невырожденности симплектической формы а имеем

В частности, если подпространство изотропно, то

Изотропные подпространства максимальной размерности:

называются лагранжевыми подпространствами.

Например, в канонических координатах на вертикальное подпространство и горизонтальное подпространство лагранжевы.

Существует стандартный способ построения лагранжева подпространства, содержащего любое заданное изотропное подпространство. Пусть изотропное, лагранжево подпространство. Тогда подпространство

лагранжево (проверьте). Ясно, что

В частности, любая прямая в содержится в некотором лагранжевом подпространстве.