18.2. Группы Ли

Пространства состояний многих интересных задач в геометрии, механике и приложениях часто являются не просто гладкими многообразиями, а группами Ли, в частности группами преобразований. Многообразие с групповой структурой называется группой Ли, если групповые операции гладкие. Кокасательное расслоение группы Ли имеет естественную тривиализацию. Мы развиваем подход предыдущего параграфа и изучаем задачи оптимального управления на группах Ли.

18.2.1. Примеры групп Ли.

Наиболее важные примеры групп Ли — это группы линейных преобразований конечномерных векторных пространств.

Группа всех невырожденных линейных преобразований называется общей линейной группой:

Линейные преобразования сохраняющие объем, образуют специальную линейную группу

Для этих групп используются также обозначения соответственно. Ортогональная группа состоит из всех линейных преобразований, сохраняющих евклидову структуру:

а ортогональные преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют специальную ортогональную группу

Можно также рассматривать комплексную и эрмитову версии этих групп:

для этого в приведенных выше определениях нужно заменить на Каждая из этих групп реализуется как подгруппа соответствующей вещественной или ортогональной группы. А именно, общую линейную группу и унитарную группу можно рассматривать соответственно как подгруппы коммутирующие с умножением на мнимую единицу:

Специальная линейная группа и специальная унитарная группа реализуются следующим образом:

Группы линейных преобразований называются линейными группами Ли. Эти группы часто возникают в качестве пространств состояний управляемых систем: например, возникает при исследовании вращающихся конфигураций. Для таких систем можно рассматривать, как обычно, задачи управляемости и оптимального управления.

18.2.2. Теорема Ли для линейных групп Ли.

Рассмотрим управляемую систему вида

где А — произвольное подмножество пространства всех вещественных -матриц. Вычислим орбиты этой системы. Системы вида (18.8) называются левоинвариантными: они сохраняются при умножении слева на любую постоянную матрицу

Отметим, что решение дифференциального уравнения с постоянной матрицей А

задается матричной экспонентой:

Скобка Ли левоинвариантных векторных полей левоинвариантна:

это следует из координатного представления коммутатора (упражнение)

Замечание. Вместо левоинвариантных систем можно рассматривать правоинвариантные системы Эти формы эквивалентны и переводятся одна в другую переходом к обратным матрицам. Однако скобка Ли правоинвариантных векторных полей имеет вид

эта формула менее удобна, чем (18.9).

Вернемся к управляемой системе (18.8). По теореме об орбите проходящая через единицу орбита есть погруженное подмногообразие в Более того, по определению орбита представляется с помощью композиции потоков

(поэтому и через произведение матричных экспонент)

Следовательно, орбита — подгруппа в Далее, в доказательстве теоремы об орбите мы показали, что точка зависит от непрерывно в «сильной» топологии орбиты, а потому и гладко.

Подведем итоги. Мы показали, что орбита, проходящая через единицу, удовлетворяет следующим свойствам:

1) есть погруженное подмногообразие ;

2) есть подгруппа в

3) групповые операции гладкие. Иными словами, орбита являются подгруппой Ли группы

Касательные пространства к орбите легко легко вычисляются с помощью аналитической версии теоремы об орбите (система (18.8) вещественно аналитична):

Орбита левоинвариантной системы (18.8), проходящая через любую точку получается левыми сдвигами орбиты, проходящей через единицу:

Выше мы рассматривали систему (18.8), заданную произвольным подмножеством Если ограничиться подалгебрами Ли

то легко видеть, что доказано следующее предложение: каждой подалгебре Ли соответствует такая связная подгруппа Ли что Здесь Покажем теперь, что это соответствие обратимо.

Пусть есть связная подгруппа Ли группы

1) есть связное погруженное подмногообразие

2) образует группу относительно матричного произведения;

3) групповые операции суть гладкие отображения в

Тогда Рассмотрим касательное пространство

Так как то получаем

Далее,

так как вектор

есть скорость кривой где Следовательно, для любого векторное поле тождественно касается многообразия

Поэтому на корректно определена следующая управляемая система:

Эта система имеет полный ранг. Пространство состояний связно, поэтому оно совпадает с орбитой этой системы, проходящей через единицу. Но касательное пространство к орбите уже вычислено (см. (18.10)), поэтому

То есть подалгебра Ли алгебры

Мы доказали следующее классическое предложение.

Теорема 18.1 (Ли). Существует такое взаимно однозначное соответствие между подалгебрами Ли и связными подгруппами Ли что

Мы показали, что теорема Ли для линейных алгебр и групп Ли следует из теоремы об орбите: связные группы Ли суть орбиты левоинвариантных систем, задающихся подалгебрами Ли, а подалгебры Ли суть касательные пространства к подгруппам Ли в единице.

18.2.3. Абстрактные группы Ли.

Абстрактная группа Ли есть абстрактное гладкое многообразие (не вложенное ни в какое объемлющее пространство), одновременно являющееся группой с гладкими групповыми операциями. Справедлива теорема [141], согласно которой любая конечномерная алгебра Ли изоморфна подалгебре Ли алгебры Аналогичное утверждение для групп Ли неверно: любая группа Ли может быть представлена как подгруппа Ли группы только локально, но, вообще говоря, не глобально. Однако важнейшие свойства линейных групп Ли обобщаются на абстрактные группы Ли.

А именно, пусть есть группа Ли. Для любой точки умножение слева на

есть диффеоморфизм многообразия Любой касательный вектор

можно перенести в любую точку левым сдвигом

в результате чего возникает левоинвариантное векторное поле на М:

Имеется взаимно однозначное соответствие между левоинвариантными векторными полями на и касательными векторами к в единице:

Левые сдвиги на сохраняют потоки левоинвариантных векторных полей на а потому и потоки их коммутаторов. Следовательно, левоинвариантные векторные поля на группе Ли образуют алгебру Ли, которая называется алгеброй Ли группы Ли Поэтому и касательное пространство есть алгебра Ли.

Так же, как в линейном случае, можно доказать теорему Ли о взаимно однозначном соответствии между подгруппами Ли группы Ли и подалгебрами Ли ее алгебры Ли А.