12.3. Геометрическая формулировка ПМП для задачи со свободным временем

В предыдущем параграфе был доказан принцип максимума Понтрягина для задачи с закрепленным конечным временем Теперь рассмотрим случай свободного

Теорема 12.2. Пусть допустимое управление системы (12.1) такое, что

для некоторых

Тогда существует такая липшицева кривая

что

для почти всех

Замечание. В задачах со свободным временем появляется дополнительная переменная — конечное время Для исключения этой переменной добавляется одно условие — равенство (12.15). Это равенство задает одно скалярное ограничение, так как из предыдущих двух следует, что ; см. замечание после теоремы 12.1.

Доказательство. Сведем случай свободного времени к случаю закрепленного времени, расширяя управляемую систему с помощью замены времени. Допустимыми траекториями расширенной системы будут перепараметризации траекторий исходной системы (с сохранением направления траекторий).

Возьмем в качестве нового времени гладкую функцию

Выведем дифференциальное уравнение для перепараметризованной траектории:

т. е. искомое уравнение есть

Теперь рассмотрим наряду с исходной управляемой системой

также расширенную систему вида

где . Допустимые управления новой системы суть

а управлению исходной системы соответствует управление расширенной системы

Легко видеть, что включение означает, что траектория новой системы через точку до соответствующая управлению попадает в момент на границу множества достижимости новой системы за время Следовательно, управление удовлетворяет принципу максимума с закрепленным временем. Применим теорему 12.1 к новой системе (12.16). Эта система имеет гамильтониан Условие максимума (12.5) записывается как

При ограничении это условие дает

а при ограничении получаем

Гамильтоновы системы вдоль совпадают между собой, и теорема доказана.