11.4. Производная Ли дифференциальных форм

Построим инфинитезимальную версию переноса дифференциальных форм потоком

Производная Ли дифференциальной формы вдоль векторного поля это дифференциальная форма которая определяется следующим образом:

Так как

то производная Ли является дифференцированием алгебры дифференциальных форм:

Далее,

поэтому

Производная Ли -форм есть обычная производная по направлению:

так как

есть замена переменных.

Выведем полезную формулу для действия производной Ли на дифференциальные формы любой степени.

Рассмотрим наряду с внешним дифференциалом

внутреннее произведение дифференциальной формы и векторного поля

действующее как подстановка вместо первого аргумента в По определению для форм нулевого порядка

Внутреннее произведение является антидифференцированием, как и внешний дифференциал:

Докажем, что производную Ли дифференциальной формы любой степени можно вычислить по следующей формуле:

которая называется формулой Картана, сокращенно Во-первых, заметим, что правая часть (11.10) имеет нужную степень:

Далее, оператор является дифференцированием, так как он получен из двух антидифференцирований. Более того, это дифференцирование коммутирует с дифференциалом:

Теперь проверим формулу (11.10) на -формах: если то

Итак, равенство (11.10) выполняется на -формах. Но установленные выше свойства отображений координатное

представление (11.3) сводят общий случай -форм к случаю -форм. Формула (11.10) доказана.

Дифференциальное определение (11.9) производной Ли можно проинтегрировать, т. е. справедливо равенство операторов на

в следующем смысле. Обозначим поток

Семейство операторов на дифференциальных формах

есть единственное решение задачи Коши

аналогичной задачам Коши для потока и для семейства операторов (2.22). Это решение обозначается как

Чтобы проверить дифференциальное уравнение в (11.12), докажем сначала следующее равенство для операторов на формах:

Это равенство очевидно для форм нулевого порядка:

Далее, оба оператора коммутируют с и удовлетворяют правилу Лейбница относительно произведения функции и дифференциальной формы. Тогда равенство (11.13) следует для форм любой степени, как и в доказательстве формулы Картана. Теперь уравнение в (11.12) легко проверяется:

(по правилу композиции (11.4))

Упражнение 11.3. Докажите единственность решения задачи (11.12).

Для автономного поля равенство (11.11) принимает вид

Отметим, что производные Ли дифференциальных форм и векторных полей в некотором смысле двойственны друг другу; см. равенство (11.14) ниже. То есть функция

задает спаривание над Тогда равенство

имеет инфинитезимальную версию вида

Учитывая формулу Картана, легко получаем следующее важное равенство: