20.4. Необходимые условия оптимальности

Применим полученные результаты о второй вариации и докажем необходимые условия геометрической оптимальности экстремальной траектории системы (20.1).

20.4.1. Условие Лежандра.

Зафиксируем допустимое управление и, являющееся критической точкой коранга отображения в конец Для простоты будем предполагать, что кусочно гладко. Возьмем любой множитель Лагранжа

Тогда

есть траектория гамильтоновой системы принципа максимума.

Введем обозначение для соответствующей квадратичной формы, вычисляющей гессиан отображения в конец в (20.18):

Тогда равенство (20.18) записывается как

По теореме 20.3, если управление и локально геометрически оптимально (т. е. отображение в конец не является локально открытым

в ), то существует такой множитель Лагранжа , что соответствующая форма удовлетворяет условию

Ядро дифференциала определяется конечным числом скалярных линейных уравнений:

т. е. оно имеет конечную коразмерность в Поэтому из неравенства (20.20) следует, что

для соответствующей экстремали Если взять экстремаль — проецирующуюся в ту же экстремальную кривую то получим форму конечного положительного индекса. Поэтому из локальной геометрической оптимальности и следует конечность положительного индекса формы для некоторого множителя Лагранжа

Предложение 20.1. Если квадратичная форма имеет конечный положительный индекс, то вдоль соответствующей экстремали выполняется следующее неравенство:

Неравенство (20.21) называется условием Лежандра.

В частности, если траектория локально геометрически оптимальна, то условие Лежандра выполняется для некоторой экстремали Впрочем, необходимость условия Лежандра для оптимальности непосредственно следует из условия максимума ПМП (упражнение). Но далее нам понадобится более сильное утверждение об индексе сформулированное в предложении 20.1.

Отметим еще раз, что при изучении геометрической оптимальности все знаки можно обратить: умножая А на —1, получаем квадратичную форму с и противоположное условие Лежандра Конечно, это относится и к последующим условиям, связанным с геометрической оптимальностью.

Докажем предложение 20.1.

Доказательство. Возьмем произвольную гладкую вектор-функцию

и введем семейство вариаций вида

Отметим, что вектор-функция сосредоточена на отрезке Найдем асимптотику формы на введенном семействе:

где равномерно поив норме Предположим, от противного, что

для некоторого В главных осях квадратичная форма становится суммой квадратов:

где по меньшей мере один коэффициент

Выберем вектор-функцию вида

с единственной ненулевой компонентой Для достаточно малых Но при любых фиксированных пространство вектор-функций v бесконечномерно. Поэтому квадратичная форма имеет бесконечный положительный индекс. Полученное противоречие завершает доказательство.

20.4.2. Регулярные экстремали.

Мы доказали, что условие Лежандра необходимо для конечности положительного индекса квадратичной формы Соответствующее достаточное условие дается усиленным условием Лежандра:

Экстремаль, удовлетворяющая усиленному условию Лежандра, называется регулярной (отметим, что это определение относится

только в случае открытого пространства управляющих параметров когда условие Лежандра связано с максимальностью

Предложение 20.2. Если есть регулярная экстремаль, то:

(1) для любого существует такое что форма отрицательна на пространстве

(2) форма имеет конечный положительный индекс на пространстве

Доказательство. (1) Разложим форму

В силу непрерывности по из усиленного условия Лежандра следует, что

при малых То же рассуждение, что и в (20.22), доказывает, что член доминирует на малых отрезках:

поэтому

для достаточно малых и всех

(2) Покажем, что форма отрицательна на любом подпространстве конечной коразмерности, отсюда следует, что

Такое же рассуждение, как и примененное при доказательстве пункта (1), показывает, что любая точка может быть покрыта таким отрезком что форма отрицательна на пространстве Выберем такие точки что отрицательна на пространствах Определим следующее подпространство конечной коразмерности в

Для любого

Поэтому есть искомое отрицательное подпространство конечной коразмерности квадратичной формы Следовательно, форма имеет конечный положительный индекс.

Предложения 20.1 и 20.2 устанавливают связь знакоопределенности формы с знакоопределенностью формы поэтому в случае коранга один с локальной геометрической оптимальностью управления и (благодаря теореме 20.1). Условие Лежандра необходимо для конечности а потому и для локальной геометрической оптимальности и. С другой стороны, усиленное условие Лежандра достаточно для отрицательности на малых отрезках, поэтому и для локальной конечномерной оптимальности и на малых отрезках. Отметим, что гораздо более сильный результат получается из теории полей экстремалей (параграф 17.1). Действительно, при усиленном условии Лежандра максимизированный гамильтониан принципа максимума гладок, и следствие 17.1 дает локальную оптимальность на малых отрезках (в топологии а потому и в и в топологии сходимости на конечномерных подмногообразиях в .

20.4.3. Особые экстремали.

Рассмотрим теперь случай, когда вторая производная гамильтониана обращается в нуль тождественно вдоль экстремали, в частности, случай аффинных по управлению систем Итак, будем предполагать, что экстремаль удовлетворяет тождеству

Такая экстремаль называется вполне особой. Как и в случае регулярных экстремалей, это определение относится только к случаю открытого множества управляющих параметров

Для вполне особой экстремали выражение для гессиана (20.18) принимает форму

Чтобы найти доминирующий член гессиана (сосредоточенный на диагонали проинтегрируем по частям. Обозначим

Тогда

Проинтегрируем по частям также условие допустимости о

Далее мы будем брать вариации подчиненные ограничению

Предположим, что функции использованные при построении семейства удовлетворяют равенству

Тогда первообразная

также сосредоточена на отрезке [0,1]. При сделанном предположении второй и третий члены в выражении гессиана (20.25) обращаются в нуль, и равенство (20.26) сводится к следующему:

Асимптотика гессиана на семействе имеет вид

Исследование этого доминирующего члена приводит к необходимым условиям оптимальности.

Предложение 20.3. Пусть есть вполне особая экстремаль. Если квадратичная форма имеет конечный положительный индекс, то

Равенство (20.27) называется условием Гоха. Его можно также записать следующим образом:

или, в гамильтоновой форме,

Как и раньше, производные по и вычисляются при Докажем предложение 20.3.

Доказательство. Возьмем такую гладкую вектор-функцию сосредоточенную на отрезке что и построим, как раньше, вариацию управлений

Получаем

где Доминирующий член есть интеграл о

Заметим, что билинейная кососимметричная форма входит в условие Гоха (20.27). Чтобы доказать предложение, покажем, что

если то доминирующий член гессиана (20.28) имеет положительное подпространство сколь угодно большой размерности.

Пусть для некоторого Тогда и существуют координаты в в которых форма со имеет вид

Возьмем вектор-функцию вида

Подставляя в (20.28), получаем

Очевидно, что эта форма имеет положительное подпространство бесконечной размерности.

Для сколь угодно большого можно найти -мерное положительное пространство формы (20.28). Существует такое что Для любых Поэтому Полученное противоречие доказывает условие Гоха.

Упражнение 20.5. Покажите, что условие Гоха выполняется не только для кусочно гладких, но и для измеримых ограниченных экстремальных управлений и в точках Лебега.

Условие Гоха дает сильные ограничения на вполне особое оптимальное управление и. Для вполне особой экстремали первые два члена в (20.25) обращаются в нуль по условию Гоха. Более того, при условии третий член в (20.25) также равен нулю. Тогда выражение для гессиана (20.25) сводится к следующим двум слагаемым:

Предположим, что квадратичная форма имеет конечный положительный индекс. Такими же рассуждениями, какие применялись при доказательстве предложения 20.1, доказываем еще одно поточечное условие:

Это неравенство называется обобщенным условием Лежандра. Заметим, что обобщенное условие Лежандра можно переписать в гамильтоновых терминах:

Это следует из равенств

Сильная версия (20.31) обобщенного условия Лежандра играет во вполне особом случае такую же роль, как усиленное условие Лежандра в регулярном случае.

Предложение 20.4. Пусть экстремаль вполне особа, удовлетворяет условию Гоха, усиленному обобщенному условию Лежандра

для некоторого и следующему условию невырожденности:

Тогда квадратичная форма отрицательна на малых отрезках и имеет конечный положительный индекс на

Доказательство. Это предложение доказывается аналогично утверждению 20.2. В разложении (20.25) первые два слагаемых обращаются в нуль по условию Гоха, а четвертый член отрицателен и доминирует на малых отрезках. Третий член мал на коротких отрезках, так как

а условие (20.32) позволяет выразить через интеграл на ядре определенном равенством (20.26).

Мы будем называть экстремаль, удовлетворяющую всем условиям предложения 20.4, хорошей особой экстремалью.

20.4.4. Необходимые условия.

Суммируя результаты этого параграфа, получаем следующие необходимые условия для того, чтобы квадратичная форма имела конечный положительный индекс.

Теорема 20.4. Пусть кусочно гладкое управление есть критическая точка отображения в конец Пусть ковектор является множителем Лагранжа:

Если квадратичная форма имеет конечный положительный индекс, то:

(I) траектория гамильтоновой системы принципа максимума

удовлетворяет равенству

(II.1) выполняется условие Лежандра:

(II.2) Если экстремаль вполне особая:

то выполняются условие Гоха

и обобщенное условие Лежандра

Замечание. Если гамильтониан зависит от и аффинно (аффинные по управлению системы), то второе слагаемое в обобщенном условии Лежандра (20.34) обращается в нуль.

Напомним, что соответствующие достаточные условия конечности индекса второй вариации даются в предложениях 20.2 и 20.4.

Комбинируя теоремы 20.4 и 20.3, получаем следующие необходимые условия оптимальности.

Следствие 20.1. Если кусочно гладкое управление локально геометрически оптимально для управляемой системы (20.14), то вдоль соответствующей экстремали выполняются условия первого порядка и второго порядка (II.2) теоремы 20.4.