Глава 6. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

В этой главе мы рассматриваем вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. То есть изучаются такие движения тела в трехмерном пространстве, что:

— расстояние между любыми точками тела остается неизменным;

— в теле существует точка, остающаяся неподвижной при движении тела.

Мы будем рассматривать как свободные движения (в отсутствии внешних сил), так и управляемые движения (когда к телу прилагаются внешние силы, чтобы перевести его в желаемое положение).

Эта система — очень упрощенная модель космического спутника, вращающегося вокруг своего центра масс.

Дополнительные сведения о дифференциальных уравнениях, описывающих вращения твердого тела, можно найти в книге [137].

6.1. Пространство состояний

Состояние твердого тела определяется его положением и скоростью. Выберем ортонормированный репер, закрепленный в теле в неподвижной точке (подвижный репер), и ортонормированный репер, закрепленный в окружающем пространстве в неподвижной точке (неподвижный репер); рис. 6.1. Множество положений твердого тела есть множество всех ортонормированных положительно ориентированных реперов в трехмерном пространстве. Это множество естественно отождествляется с группой линейных ортогональных преобразований сохраняющих ориентацию, или, что равносильно, с группой ортогональных унимодулярных матриц порядка 3:

Рис. 6.1. Неподвижный и подвижный реперы

Отображение переводит координатное представление точки в подвижном репере в ее координатное представление в неподвижном репере.

Замечание. Мы обозначаем скалярное произведение в евклидовом пространстве через Для векторов с

координатами в некотором ортонормированном базисе имеем

Отметим, что множество положений твердого тела не линейное пространство, а нетривиальное гладкое многообразие.

Теперь опишем скорости твердого тела. Обозначим через положение тела в момент времени Операторы ортогональны, т. е.

Дифференцируя это тождество по получаем

Матрица

называется угловой скоростью в теле. Так как

то равенство (6.1) можно записать в виде

откуда в силу ортогональности получаем

т. е.

и матрица кососимметрична. Поэтому скорости твердого тела имеют вид

Иными словами, мы нашли касательное пространство

Пространство кососимметрических матриц порядка 3 обозначается через Оно является касательным пространством к группе в единице:

Пространство есть алгебра Ли группы Ли

Каждой кососимметрической матрице можно сопоставить вектор

Тогда действие оператора на вектор задается с помощью векторного произведения в

Пусть некоторая точка твердого тела. Ее положение в пространстве есть Далее, скорость этой точки равна

Вектор есть вектор угловой скорости точки х в подвижном репере: если зафиксировать подвижный репер в один момент времени то мгновенная скорость точки х в момент в подвижном репере равна т. е. точка х вращается вокруг оси, направленной вдоль вектора с угловой скоростью

Введем скалярное произведение матриц следующим образом:

Это произведение согласуется с отождествлением (6.2) кососимметрических матриц порядка -мерных векторов:

Более того, это произведение инвариантно в следующем смысле:

т.е. ортогональное преобразование относительно скалярного произведения Действительно,

в силу инвариантности следа матрицы.

Выведем инфинитезимальную версию свойства инвариантности (6.3). Возьмем произвольную матрицу и рассмотрим гладкую кривую выходящую из единицы со скоростью

Тогда

и, дифференцируя при получаем тождество

т.е. отображение кососимметрично относительно скалярного произведения

Вектор соответствует матрице в силу изоморфизма (6.2), поэтому тождество (6.4) можно записать с помощью векторного произведения: