Глава 8. МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ

В этой главе мы изучим некоторые общие свойства множеств достижимости. Мы будем рассматривать семейства векторных полей на гладком многообразии удовлетворяющие свойству

В этом случае говорят, что система имеет полный ранг на Согласно аналитической версии теоремы об орбите (следствие 5.3) орбиты систем полного ранга являются открытыми подмножествами пространства состояний

Если семейство не имеет полного ранга, а вещественно аналитические, то можно перейти от к семейству полного ранга где О — орбита Поэтому в аналитическом случае условие полного ранга (8.1) не слишком ограничительно.

8.1. Множества достижимости систем полного ранга

У систем полного ранга не только орбиты, но и множества достижимости имеют полную размерность. Более того, справедливо следующее важное утверждение.

Теорема 8.1 (Кренер). Пусть система полного ранга. Тогда для любой точки

Замечание. В частности, множества достижимости за произвольное время имеют непустую внутренность:

Множества достижимости могут быть:

— открытыми множествами (рис. 8.1);

— многообразиями с гладкой границей (рис. 8.2);

— многообразиями с границей, имеющей особенности — угловые точки или точки возврата (рис. 8.3, 8.4).

Легко построить соответствующие примеры управляемых систем (например, на плоскости).

С другой стороны, теорема Кренера запрещает следующие возможности для множеств достижимости систем полного ранга:

— подмножество неполной размерности (рис. 8.5);

— множество, имеющее граничные точки, изолированные от внутренних точек (рис. 8.6).

Рис. 8.1. Множество достижимости — открытое множество

Рис. 8.3. Множество достижимости — многообразие с негладкой границей

Рис. 8.2. Множество достижимости — многообразие с гладкой границей

Рис. 8.4. Множество достижимости — многообразие с негладкой границей

Рис. 8.5. Запрещенное множество достижимости — подмножество неполной размерности

Рис. 8.6. Запрещенное множество достижимости — множество с изолированными граничными точками

Докажем теорему Кренера.

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку выберем любую точку и покажем, что

(1) Существует такое векторное поле что в противном случае Кривая

образует одномерное подмногообразие при достаточно малых

Если то для малых и включение (8.2) доказано.

(2) Пусть Тогда можно найти поле и близкую к точку на кривой (8.3) такие, что вектор не касается кривой (8.3):

В противном случае в точках лежащих на кривой (8.3) при достаточно малых Тогда отображение

есть погружение вблизи начала координат в поэтому его образ — двумерное подмногообразие

Если то включение (8.2) доказано.

(3) Предположим, что Тогда можно найти вектор не касающийся поверхности (8.4) достаточно близко к существуют такие, что векторное поле не касается поверхности (8.4) в некоторой точке В противном случае семейство не имеет полного ранга.

Отображение

есть погружение в малой окрестности начала координат в поэтому его образ — гладкое трехмерное подмногообразие

Если то включение (8.2) доказано. В противном случае продолжаем рассуждение.

(4) По индукции для находим точку

и поля такие, что отображение о

есть погружение. Образ этого погружения — n-мерное подмногообразие т. е. открытое множество. Это открытое множество содержится в и его можно выбрать сколь угодно близким к точке Включение (8.2) и теорема доказаны.

Из теоремы Кренера получаем следующее предложение.

Следствие 8.1. Пусть система полного ранга. Если для некоторой точки то

Доказательство. Возьмем произвольную точку и покажем, что она принадлежит множеству достижимости

Рассмотрим систему

Эта система имеет полный ранг, поэтому по теореме 8.1

Возьмем любую точку и окрестность этой точки Так как плотно в имеем

Поэтому т. е. существует точка

Иными словами, точку можно представить двумя способами:

Умножая оба разложения справа на получаем

что и требовалось доказать.

Следствие 8.1 означает, что при исследовании управляемости можно заменять множество достижимости системы полного ранга его замыканием. В следующем параграфе мы покажем, как можно добавлять к управляемой системе новые векторные поля, не увеличивая при этом замыкания множества достижимости.