1.4. Управляемые системы

Для динамических систем их будущее состояние полностью определяется настоящим состоянием Закон преобразования это поток поэтому динамика системы

определяется одним векторным полем

Для того чтобы влиять на динамику, управлять ею, введем семейство динамических систем

где семейство векторных полей параметризовано параметром и Система вида (1.8) называется управляемой системой. Переменная и называется управляющим параметром, а множество пространством управляющих параметров. Априори никакие ограничения на множество не накладываются, это произвольное множество, однако обычно будет подмножеством гладкого многообразия. Переменная называется состоянием, а многообразие пространством состояний управляемой системы (1.8).

В теории управления мы изменяем динамику управляемой системы (1.8) в любой момент времени, изменяя значения управления и Для любого и соответствующее векторное поле порождает поток, который обозначается через

Типичная задача теории управления состоит в нахождении множества точек, достижимых из начальной точки благодаря выбору всевозможных значений и и переключению между этими значениями в разные моменты времени (для динамической системы (1.7) такое множество достижимости есть просто положительная полутраектория

Пусть мы выходим из точки и применяем следующую стратегию управления для системы (1.8): сначала выбираем некоторое значение управляющего параметра а затем переключаемся на другое значение Какие точки в достижимы с помощью такой стратегии? С помощью управляющего параметра можно попасть в точки вида

а все множество достижимых точек имеет вид

т. е. это кусок -мерной поверхности:

Естественно задать следующий вопрос: какие точки достижимы из с помощью любых возможных стратегий управления?

Мы вернемся к этому вопросу ниже, а сейчас рассмотрим пример управляемой системы — упрощенной модели автомобиля.

Пример 1.2. Мы считаем, что состояние машины определяется положением ее центра масс и углом ориентации в относительно положительного направления оси Поэтому пространство состояний системы есть нетривиальное -мерное многообразие — полноторий

Будем предполагать, что возможны движения двух видов: можно ехать вперед и назад с некоторой постоянной линейной скоростью и можно поворачивать машину вокруг центра масс с постоянной

угловой скоростью Более того, эти способы движения можно комбинировать некоторым допустимым образом.

Динамическая система, описывающая движение по прямой со скоростью имеет вид

Вращение с угловой скоростью описывается системой

Управляющий параметр может принимать значения в некотором заданном подмножестве Запишем уравнения (1.9) и (1.10) в векторной форме:

где

суть векторные поля на многообразии Тогда наша модель имеет вид

Эту модель можно записать в комплексной форме:

Замечание. Управляемую систему (1.8) часто записывают в другом виде:

Мы предпочитаем обозначение подчеркивающее, что при фиксированном и есть единый объект — векторное поле на

Вернемся к изучению множества точек, достижимых вдоль траекторий управляемой системы из начальной точки.

Определение 1.13. Множество достижимости управляемой системы (1.8) с кусочно постоянными управлениями из точки за время определяется следующим образом:

Множество достижимости из за любое неотрицательное время движения имеет вид

Рис. 1.7. Множество достижимости

Для простоты рассмотрим сначала наименьшее нетривиальное пространство управлений, состоящее из двух индексов:

(даже этот простой случай позволяет увидеть характерные особенности задачи). Тогда множество достижимости за любое неотрицательное время можно представить в следующем виде:

Это выражение подсказывает, что множество достижимости должно существенно зависеть от коммутационных свойств потоков и

Сначала рассмотрим тривиальный коммутативный случай, т. е. предположим, что потоки перестановочны:

Тогда множество достижимости может быть вычислено точно: так как

то получаем

Поэтому в коммутативном случае множество достижимости с помощью двух управляющих параметров есть кусок двумерной поверхности, быть может, с особенностями. Легко видеть, что если количество управляющих параметров равно к 2 и соответствующие потоки коммутируют, то множество достижимости есть, вообще говоря, кусок k-мерного многообразия, и, в частности, Но этот коммутативный случай является исключительным и почти никогда не встречается в реальных управляемых системах.

Пример 1.3. В построенной выше модели машины динамика управления определяется двумя векторными полями (1.11) на трехмерном многообразии

Очевидно, что мы можем перевести машину из любой начальной конфигурации в любую конечную конфигурацию

Рис. 1.8. Начальная и конечная конфигурации машины

Рис. 1.9. Перевод машины из

попеременно совершая поступательные движения и вращения (с постоянной скоростью); рис. 1.8, 1.9.

Поэтому любая точка трехмерного многообразия достижима из любой другой точки с помощью двух векторных полей Это возможно благодаря некоммутативности этих полей (т. е. их потоков).

Как можно определить коммутационные свойства пары векторных полей не находя явно их потоки т. е. не интегрируя дифференциальные уравнения

Если потоки коммутируют, то кривая

не зависит от Естественно предположить, что за коммутационные свойства потоков векторных полей в точке отвечает некоторый член малого порядка тейлоровского разложения отображения (1.12) при Очевидно, что производные первых порядков

здесь бесполезны так же, как и чистые производные второго порядка

Искомой производной должна быть смешанная вторая производная

Оказывается, что эта производная задает некоторый касательный вектор к Он называется скобкой Ли векторных полей в точке и обозначается

Векторное поле определяет коммутационные соотношения полей и его часто называют коммутатором векторных полей

Эффективная формула для вычисления скобки Ли векторных полей в локальных координатах дается в следующем предложении.

Предложение 1.3. Пусть векторные поля на Тогда

Доказательство предоставляется читателю как упражнение.

Скобку Ли векторных полей можно определить по-другому, рассматривая кривую

Рис. 1.10. Скобка Ли векторных полей

Упражнение 1.3. Покажите, что в локальных координатах

т.е. вектор скорости -кривой В частности, отсюда следует, что есть действительно касательный вектор к М:

В следующей главе мы построим эффективное алгебраическое исчисление для выполнения подобных вычислений без использования координат.

В коммутативном случае множество достижимости системы из двух полей не зависит от количества переключений стратегии управления. В общем некоммутативном случае картина иная: чем больше количество переключений, тем больше точек достижимо.

Пусть мы можем двигаться вдоль векторных полей и Тогда инфинитезимально допустимо движение в новом направлении которое, вообще говоря, линейно не зависит от исходных направлений Используя ту же стратегию переключения для полей мы добавляем еще одно инфинитезимальное направление движения Аналогично можно получить Повторяя эту процедуру с новыми векторными полями, полученными на предыдущих шагах, можно получить скобку Ли сколь угодно высокого порядка в качестве инфинитезимального направления движения для достаточно большого числа переключений.

Пример 1.4. Вычислим скобку Ли векторных полей

возникающих в модели машины. Напомним, что поле порождает движение вперед, а поле поворот машины против часовой стрелки.

Согласно (1.14) получаем

Векторное поле порождает движение машины в направлении, перпендикулярном ее ориентации.

Рис. 1.11. Реализация скобки Ли маневром машины

Это типичный маневр при парковке автомобиля: последовательность четырех движений с одной и той же малой амплитудой вида

приводит к движению вправо (в главном члене); рис. 1.11. Покажем это явно, вычисляя скобку Ли как в примере 1.3:

Опять получаем

Конечно, эту скобку Ли можно вычислить и по определению, как в (1.13):

и коммутатор (1.15) получен еще раз.