Глава 22. РЕДУКЦИЯ

В этой главе мы рассмотрим метод сведения аффинной по управлению системы к нелинейной системе на многообразии меньшей размерности.

22.1. Редукция

Рассмотрим аффинную по управлению систему

с попарно коммутирующими векторными полями при управлениях

Поток системы можно разложить по формуле вариаций:

Здесь мы считаем невозмущенным потоком и учитываем, что поля взаимно коммутируют. Введем частичную систему, соответствующую второму члену в разложении (22.2):

где — новые управления. Множества достижимости исходной системы (22.1) и частичной системы (22.3) за время из точки тесно связаны друг с другом:

Действительно, первое включение следует непосредственно из разложения (22.2). Чтобы доказать второе разложение в (22.4), заметим,

что отображение

непрерывно в топологии это следует из асимптотического разложения хронологической экспоненты. Поэтому отображение

непрерывно в топологии Наконец, отображение

имеет всюду плотный образ в Тогда из разложения (22.2) следует второе включение в (22.4).

Частичная система (22.3) инвариантна относительно полей

Поэтому цепочка (22.4) и равенство (22.5) означают, что исходную систему (22.1) можно рассматривать как композицию частичной системы (22.3) с потоком полей любое множество достижимости исходной системы за время есть (с точностью до замыкания) множество достижимости частичной системы за время плюс скачок вдоль более того, скачок вдоль возможен в любой момент времени.

Пусть экстремаль исходной аффинной по управлению системы. Экстремаль вполне особая, более того, условие максимума ПМП равносильно тождеству

Легко видеть, что

есть экстремаль системы (22.3), соответствующая управлению

более того,

(Мы используем здесь термин «экстремаль» как синоним критической точки отображения в конец, т. е. мы требуем, чтобы экстремальное

управление было критическим, но не обязательно минимизирующим, для зависящего от управления гамильтониана ПМП.) Обратно: если — экстремаль (22.3) с липшицевым управлением и выполняется тождество (22.6), то

есть экстремаль исходной системы (22.1) с управлением

Более того, усиленное обобщенное условие Лежандра для экстремали исходной системы совпадает с усиленным условием Лежандра для соответствующей экстремали частичной системы. Иными словами, переход от системы (22.1) к системе (22.3) переводит хорошие особые экстремали в регулярные экстремали

Упражнение 22.1. Проверьте, что экстремали имеют одно и то же сопряженное время.

Так как система (22.3) инвариантна относительно полей эту систему можно рассматривать на факторе многообразия по модулю действия полей если такое фактор-многообразие корректно определено. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности на М:

Предположим, что все орбиты имеют одинаковую размерность и, более того, выполняется следующее условие нерекуррентности: для любой точки существует такие окрестность и многообразие трансверсальное что любая орбита пересекает в единственной точке. Эти условия выполняются, например, если суть постоянные векторные поля, или если а поле неособое и нерекуррентное. Если эти условия выполняются, то пространство орбит есть гладкое многообразие. Тогда система (22.3) корректно определена на фактор-многообразии

Переход от исходной аффинной по управлению системы (22.1) к нелинейной по управлению редуцированной системе (22.7) уменьшает размерность пространства состояний и преобразует особые экстремали в регулярные.

Пусть Месть проекция. Для множества достижимости редуцированной системы (22.7) из точки включения (22.4) принимают форму

Из приведенного выше анализа экстремалей следует, что есть экстремальная кривая исходной системы (22.1) тогда и только тогда,

когда ее проекция есть экстремальная кривая редуцированной системы (22.7). Первое включение в (22.8) означает, что если геометрически оптимальна, то также геометрически оптимальна.

Можно также определить процедуру обратной редукции. Возьмем управляемую систему

ограничим ее на липшицевы управления и добавим интегратор:

Упражнение 22.2. Докажите, что система (22.9) является редукцией системы (22.10).