Глава 15. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
15.1. Постановка задачи
В этой главе мы изучим следующую задачу оптимального управления:
где 
компактный выпуклый многогранник в 
— постоянные матрицы порядка 
соответственно. Задача (15.1)-(15.3) называется линейной задачей быстродействия.
Многогранник 
есть выпуклая оболочка конечного числа точек 
Будем считать, что любая точка а не принадлежит выпуклой оболочке остальных точек 
т.е. каждая точка а — вершина многогранника 
Будем далее предполагать, что выполнено следующее условие общего положения:
для любого ребра 
многогранника 
вектор 
удовлетворяет равенству
Это условие означает, что ни один вектор 
не принадлежит собственному инвариантному подпространству матрицы А. По теореме 3.1 это равносильно управляемости линейной системы
с пространством управляющих параметров и 
Выполнения условия (15.4) всегда можно добиться малым шевелением матриц 
Мы рассматривали примеры линейных задач быстродействия в параграфах 13.1, 13.2. Здесь мы изучим структуру оптимального управления, докажем его единственность, оценим количество переключений.
Существование оптимального управления для любых точек 
таких, что 
следует из теоремы Филиппова. Заметим, что аналогичная задача с неограниченным пространством управляющих параметров может не иметь оптимального управления; это легко показать, используя линейность системы.
Перед началом изучения линейной задачи быстродействия напомним некоторые начальные сведения о многогранниках.
