8.4. Управляемое твердое тело: множества достижимости

Применим полученные общие результаты к управляемой системе (6.20), описывающей вращения твердого тела:

По предложению 8.1, векторное поле совместимо с системой (8.5). Покажем, что это поле устойчиво по Пуассону на

Сначала рассмотрим векторное поле на большем пространстве где пространство всех матриц порядка 3. Имеем поэтому поле консервативно на

Далее, так как первая компонента поля линейна по она удовлетворяет следующему свойству левоинвариантности по

В силу этого свойства поле имеет компактные инвариантные множества в вида

так что По теореме Пуанкаре поле устойчиво по Пуассону на всех этих множествах а потому и на Ввиду свойства инвариантности (8.6), поле устойчиво по Пуассону и на

Так как поле совместимо с системой (8.5), противоположное поле — также с ней совместимо. Следовательно, и векторные поля

совместимы с этой системой.

Итак, все векторные поля симметричной системы

совместимы с исходной системой. Поэтому замыкания множеств достижимости исходной системы (8.5) и расширенной системы совпадают.

Пусть исходная система имеет полный ранг. Тогда и симметричная система имеет полный ранг, следовательно, является вполне управляемой. Поэтому в случае полного ранга исходная система (8.5) вполне управляема.

Рис. 8.8. Фазовый портрет поля при

В случае неполного ранга множества достижимости имеют более сложную структуру. Если I совпадает с главной осью инерции, то орбиты системы (8.5) совпадают со множествами достижимости. В случае это уже не так. Это легко видеть по фазовому портрету векторного поля в плоскости прямая состоит из положений равновесия а в полуплоскостях траектории полуокружности с центром в начале координат (рис. 8.8).

Поле неустойчиво по Пуассону в плоскостях Случай отличается от случая полного ранга из-за того, что под действием поля -мерный объем в сохраняется, а -мерный объем в инвариантных плоскостях нет.

Подробный анализ задачи управляемости в случае неполного ранга проведен в работе [65].