5.6. Теорема Фробениуса

Выведем из теоремы об орбите классическую теорему Фробениуса. Определение 5.3. Распределением на гладком многообразии называется любое семейство линейных подпространств гладко зависящее от точки Размерность подпространств предполагается постоянной.

Геометрически, распределение есть поле касательных подпространств на

Определение 5.4. Распределение А на многообразии называется интегрируемым, если для любой точки существует погруженное подмногообразие такое, что

Подмногообразие называется интегральным многообразием распределения А, проходящим через точку (рис. 5.6).

Иными словами, интегрируемость распределения означает, что через любую точку можно провести подмногообразие касательные пространства которого — элементы распределения А.

Замечание. Если то распределение А интегрируемо по теореме 1.2 о существовании и единственности решений ОДУ. Действительно, в окрестности любой точки можно выбрать базис

Рис. 5.6. Интегральное многообразие распределения А

распределения А, т.е. векторное поле такое, что Но тогда траектории суть одномерные подмногообразия с касательными пространствами

Однако в общем случае распределение А может быть неинтегрируемым. Действительно, рассмотрим семейство векторных полей, касающихся А:

Предположим, что распределение А интегрируемо. Любое векторное поле из семейства А касается интегральных многообразий поэтому орбита семейства А, ограниченного на достаточно малую окрестность точки содержится в интегральном многообразии Более того, так как то локально можно двигаться в в любом направлении вдоль полей семейства А. По теореме об орбите, поэтому

Это означает, что

Пусть Выберем базис распределения А в окрестности точки

Тогда включение (5.12) записывается как условие Фробениуса

Мы показали, что из интегрируемости распределения следует условие Фробениуса для его базиса.

Обратно, если условие (5.13) выполняется в окрестности любой точки Поэтому локально конечно порожденный модуль над По теореме 5.3

Поэтому

т. е. орбита есть интегральное многообразие распределения А, проходящее через точку Мы доказали следующее предложение.

Теорема 5.4 (Фробениус). Распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда условие Фробениуса (5.13) выполняется для любого базиса А в окрестности любой точки

Замечания. (1) По правилу Лейбница

условие Фробениуса не зависит от выбора базиса если оно выполняется в каком-нибудь одном базисе, то выполняется и в любом другом.

(2) Можно рассматривать также гладкие распределения А с переменным рангом Такое распределение определяется как локально конечно порожденный над подмодуль Для таких распределений из условия Фробениуса следует интегрируемость; но размерность интегральных многообразий становится в общем случае переменной, хотя и остается постоянной вдоль орбит А. Это — обобщение фазового портрета векторного поля. Заметим еще раз, однако, что в общем случае распределения с неинтегрируемы.