5.4. Доказательство теоремы об орбите

Введем обозначение

и рассмотрим следующее подпространство в

Это пространство — кандидат на роль касательного пространства

Лемма 5.1. для всех

Доказательство. Отметим, что если то для некоторого диффеоморфизма

Возьмем произвольный элемент где Тогда

Имеем поэтому Но можно поменять местами, следовательно, Итак,

Теперь докажем теорему об орбите.

Доказательство. Многообразие распадается в объединение взаимно непересекающихся классов эквивалентности

отношения (5.5) — орбит Введем на новую «сильную» топологию, в которой все орбиты суть связные компоненты.

Для любой точки обозначим и выберем элементы так, чтобы

Определим отображение

Имеем

поэтому в достаточно малой окрестности начала координат векторы линейно независимы, т.е. погружение.

Множества вида являются кандидатами на роль элементов базы топологии на Докажем несколько соответствующих свойств этих множеств.

(1) Так как отображения регулярны, то множества -мерные подмногообразия многообразия быть может, для меньших окрестностей

(2) Покажем, что Любой элемент базиса (5.6) имеет вид Тогда

поэтому

(3) Покажем, что Так как то остается доказать, что для Имеем

(4) Докажем, что множества вида образуют базу топологии на Достаточно показать, что любое непустое пересечение содержит подмножество вида т. е. это пересечение устроено, как на рис. 5.4, а, а не на рис. 5.4, б.

Рис. 5.4

Пусть точка принадлежит множеству Тогда Рассмотрим отображение

Достаточно показать, что при малых

тогда можно заменить на Проведем доказательство шаг за шагом. Рассмотрим кривую По свойству (3) выше, для и достаточно близких к Так как подмногообразие в то кривая принадлежит для достаточно малых Повторив это рассуждение, получаем, что

при малых Продолжая этот процесс, получаем включение

для достаточно близких к

Свойство (4) доказано, и множества образуют базу топологии на Обозначим через полученное топологическое пространство, т. е. множество с только что введенной на нем «сильной» топологией.

(5) Покажем, что для любого орбита связна, открыта и замкнута в «сильной» топологии.

Связность: все отображения непрерывны в «сильной» топологии, поэтому любую точку можно соединить с непрерывной кривой в

Открытость: для любого множество вида окрестность точки в

Замкнутость: любая орбита является дополнением к объединению открытых множеств (орбит), поэтому она замкнута.

Итак, любая орбита есть компонента связности топологического пространства

(6) Определим гладкую структуру на каждой орбите выбрав в качестве координатных окрестностей и в качестве координатных отображений. Так как все суть погружения, то любая орбита погруженное подмногообразие в Заметим, что эти подмногообразия могут иметь разные размерности для разных

(7) По свойству (3) имеем Теорема об орбите полностью доказана.

Описание касательного пространства к орбите, которое дает эта теорема:

не очень конструктивно, так как группа V имеет довольно сложную структуру. Впрочем, мы уже получили из теоремы об орбите оценку снизу:

Отметим, что это включение несложно доказать непосредственно. Используем асимптотическое разложение поля Возьмем любой элемент Имеем поэтому

Теперь рассмотрим ситуацию, когда включение (5.7) становится строгим.

Пример 5.3. Пусть где функция а имеет компактный носитель.

Рис. 5.5. Полная управляемость семейства

Легко видеть, что для любой точки орбита совпадает со всей плоскостью Действительно, семейство вполне управляемо на плоскости. Каковы бы ни были начальная точка и конечная точка можно перевести сначала идем из вдоль поля в точку затем движемся вдоль поля до точки наконец, попадаем в вдоль (рис. 5.5).

С другой стороны,

То есть

Однако этот пример существенно неаналитический. В аналитическом случае включение (5.7) превращается в равенство. Мы докажем это в следующем параграфе.