10.2. Редукция к исследованию множеств достижимости
Зафиксируем начальную точку 
Множество достижимости управляемой системы (10.1) за время 
из точки с помощью измеримых локально ограниченных управлений определяется следующим образом:
Аналогично можно рассматривать множества достижимости за время не больше 
и за произвольное неотрицательное время:
Оказывается, задачи оптимального управления на пространстве состояний 
по существу можно свести к исследованию множеств достижимости некоторых вспомогательных управляемых систем на расширенном пространстве состояний
А именно, рассмотрим следующую расширенную управляемую систему на 
с правой частью
где 
— подынтегральная функция функционала качества 
см. (10.6).
Обозначим через 
решение расширенной системы (10.11) с начальными условиями
Предложение 10.1. Пусть 
есть оптимальная траектория в задаче (10.8)-(10.10) с закрепленным конечным временем 
Тогда соответствующая траектория 
расширенной системы (10.11) приходит на границу множества достижимости этой системы:
Доказательство. Решения 
расширенной системы выражаются через решения 
исходной системы (10.1) как
где
Поэтому множества достижимости расширенной системы (10.11) из точки 
имеют вид
Рис. 10.1. Траектория 
оптимальна
Множество 
не может пересекаться с лучом
(рис. 10.1).
Действительно, предположим, что существует точка
Тогда траектория 
расширенной системы, переводящая 
проецируется в траекторию 
с меньшим значением функционала качества:
что противоречит оптимальности траектории 
Включение (10.12) доказано.
Итак, оптимальные траектории (точнее, их поднятия на расширенное пространство состояний 
должны приходить на границу множества достижимости 
Чтобы найти оптимальные траектории, мы найдем траектории, приходящие на границу 
а затем выберем из них оптимальные. Первый шаг гораздо важнее второго, поэтому решение задач оптимального управления по существу сводится к исследованию динамики множеств достижимости.
