Глава 10. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
10.1. Постановка задачи
Мы будем рассматривать управляемую систему вида
Как обычно, 
гладкое многообразие, 
произвольное подмножество 
На правую часть управляемой системы наложим следующие требования:
и кроме того, в любых локальных координатах на 
Допустимые управления — измеримые локально ограниченные отображения
Подставляя такое управление 
вместо управляющего параметра в систему (10.1), получаем неавтономное дифференциальное уравнение 
По классической теореме Каратеодори для любой точки 
задача Коши
имеет единственное решение (см. п. 2.4.1). Часто мы будем фиксировать начальную точку 
и обозначать соответствующее решение задачи (10.5) просто через 
Чтобы сравнивать допустимые управления на отрезке 
друг с другом, введем функционал качества:
подынтегральная функция которого
удовлетворяет тем же условиям регулярности, что и правая часть 
см. (10.2)-(10.4).
Возьмем любую пару точек 
Мы будем рассматривать следующую задачу оптимального управления.
Задача. Минимизировать функционал 
на множестве всех допустимых управлений 
, для которых соответствующее решение 
задачи Коти (10.5) удовлетворяет краевому условию
Эту задачу можно также записать следующим образом:
Мы будем изучать два типа задач — с закрепленным конечным временем 
и свободным 
Решение и такой задачи называется оптимальным управлением, а соответствующая кривая 
оптимальной траекторией.
Таким образом, задача оптимального управления — это задача минимизации функционала 
с ограничениями на управление и, которые задаются управляемой системой и краевыми условиями (10.5), (10.7). Обычно эти связи невозможно разрешить относительно и, поэтому для решения задач оптимального управления требуются специальные методы.
