24.4. Управляемость

Обозначим гауссовы кривизны римановых многообразий соответственно через . Поднимем эти кривизны с на

Теорема 24.1. (1) Множество достижимости О системы (24.14) из точки есть гладкое погруженное связное подмногообразие в размерности 2 или 5. А именно:

(2) Существует инъективное соответствие между изометриями и -мерными множествами достижимости О системы (24.14). В частности, если многообразия изометричны, то система (24.14) не является вполне управляемой.

(3) Предположим, что оба многообразия полны и односвязны. Тогда соответствие между изометриями -мерными множествами достижимости О системы (24.14) биективно.

В частности, система (24.14) вполне управляема тогда и только тогда, когда многообразия неизометричны.

Доказательство. (1) По теореме об орбите множество достижимости симметричной системы (24.14), т.е. орбита распределения А, проходящая через произвольную точку есть гладкое погруженное подмногообразие в Покажем, что любая орбита О распределения А -мерна или -мерна.

Зафиксируем любую орбиту О и предположим сначала, что существует точка в которой многообразия имеют разные гауссовы кривизны: Для того чтобы построить репер на вычислим повторные скобки Ли полей

При вычислении скобки (24.15) было использовано выражение (24.6) гауссовой кривизны через структурные константы. Легко видеть, что

Система (24.14) имеет полный ранг в точке где к поэтому

С другой стороны, если во всех точках то в силу равенства (24.15) распределение А интегрируемо, поэтому

(2) Пусть есть изометрия. Ее график

есть гладкое двумерное подмногообразие в Докажем, что орбита А. Локально выберем ортонормированный репер в и возьмем соответствующий ортонормированный репер в Тогда Так как то

ограничения полей имеют вид

Поэтому поля касаются Из скобки Ли (24.15) получаем

поэтому есть орбита А. Разные изометрии имеют разные графики т.е. соответствие между изометриями и двумерными орбитами инъективно.

(3) Теперь предположим, что многообразия полны и односвязны. Пусть О — двумерная орбита А. Построим изометрию с графиком О.

Заметим прежде всего, что для любой липшицевой кривой и любой точки существует такая траектория системы (24.14), что Действительно, липшицева кривая есть траектория неавтономного дифференциального уравнения для некоторых Поднимем эти уравнения на

Покажем, что решение этой задачи Коши определено на всем отрезке Обозначим через риманову длину кривой а через замкнутый риманов шар радиуса с центром Кривая содержится в и не пересекается с его границей. Заметим, что шар есть замкнутое ограниченное подмножество полного пространства поэтому он компактен. Проекция максимального решения задачи Коши (24.20) имеет риманову длину не больше поэтому она содержится в компакте и не пересекается с его границей. Итак, максимальное решение задачи (24.20) содержится в компакте и не выходит на его границу. Поэтому максимальное решение определено на всем отрезке

Теперь легко видеть, что для двумерной орбиты О. Действительно, пусть тогда Возьмем любую точку и соединим ее с липшицевой кривой Пусть есть подъем кривой на орбиту О с начальным условием Тогда Поэтому

Аналогично, Проекции

суть локальные диффеоморфизмы, так как

Более того, можно показать, что проекции (24.21) суть глобальные диффеоморфизмы. Действительно, пусть Любая липшицева

кривая на выходящая из имеет единственный лифт на О, выходящий из причем этот лифт непрерывно зависит от Предположим, что кривая на О, соединяющая Стягивая замкнутую кривую и рассматривая ее лифт на О, получаем противоречие с локальной обратимостью Поэтому глобально обратимо, следовательно, это — глобальный диффеоморфизм. То же самое справедливо для Поэтому можно определить диффеоморфизм

Так как

отображение есть изометрия.

Если многообразия неизометричны, то все множества достижимости системы -мерны, следовательно, это открытые подмножества в Но многообразие связно, поэтому оно совпадает с единственной орбитой.