15.5. Переключения оптимального управления

Оценим количество переключений оптимального управления в линейных задачах быстродействия. В примерах параграфов 13.1, 13.2 мы получили соответственно одно переключение и сколь угодно большое число переключений, хотя и конечное на любом отрезке. Оказывается, в общем случае возможны два типа поведения оптимального управления: неосциллирующий и осциллирующий, в зависимости от того, имеет матрица А вещественный спектр или нет. Напомним, что в примере с одним переключением в параграфе 13.1 мы имели матрицу

а в примере со сколь угодно большим числом переключений в параграфе 13.2

Мы ограничимся системами со скалярным управлением:

удовлетворяющими условию общего положения

Множество достижимости такой системы за сколь угодно малое время полномерно. Оценим минимальное число переключений, необходимое для заполнения полномерной области. Оптимальное управление кусочно постоянно со значениями во множестве Предположим,

что траектория выходит из начальной точки с управлением а. Без переключений можно заполнить дугу -мерной кривой с одним переключением заполняется кусок -мерной поверхности переключениями можно достичь точек на -мерной поверхности и т. п. Поэтому для заполнения n-мерной области необходимо как минимум переключение.

Докажем, что в неосциллирующем случае переключение оптимального управления всегда достаточно.

Теорема 15.4. Предположим, что матрица А имеет только вещественные собственные значения:

Тогда любое оптимальное управление в линейной задаче быстродействия имеет не более чем переключение.

Доказательство. Пусть оптимальное управление, соответствующее решение сопряженного уравнения Условие максимума записывается как

поэтому

Следовательно, число переключений управления равно количеству перемен знака функции

Покажем, что имеет не более корня. Вычислим производные сопряженного вектора:

По теореме Кэли матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению

где

поэтому

Следовательно, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка

Как хорошо известно (см., например, [138]), любое решение этого уравнения есть квазимногочлен

где собственные значения матрицы А, а степень каждого многочлена меньше кратности соответствующего собственного значения поэтому к

Теперь утверждение данной теоремы следует из приведенной ниже общей леммы.

Лемма 15.1. Квазимногочлен

имеет не более вещественных корней.

Доказательство. Применим индукцию по k. Если то квазимногочлен

имеет не более корней.

Докажем шаг индукции для Обозначим

Пусть квазимногочлен имеет вещественных корней. Запишем уравнение

в следующем виде:

Квазимногочлен в левой части имеет корней. Продифференцируем этот квазимногочлен раз, чтобы многочлен исчез. После дифференцирований получаем квазимногочлен

имеющий по теореме Ролля вещественных корней. Но по предположению индукции максимально возможное число корней этого квазимногочлена равно

Полученное противоречие и доказывает данную лемму.

Теорема 15.4 полностью доказана: в неосциллирующем случае оптимальное управление имеет не более переключений на своей области определения (напомним, что переключение всегда необходимы даже на малых временных отрезках, так как множества достижимости полномерны для всех

Для произвольной матрицы А можно получить как оценку сверху для числа переключений на достаточно малых отрезках времени.

Теорема 15.5. Рассмотрим характеристический многочлен матрицы А

и пусть

Тогда для любого оптимального по быстродействию управления и любого отрезок

содержит не более переключений оптимального управления

При доказательстве этой теоремы мы воспользуемся следующим общим предложением, которое мы узнали от С. Яковенко. Лемма 15.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение

с измеримыми и ограниченными коэффициентами,

Если

то любое ненулевое решение этого уравнения имеет не более корней на отрезке

Доказательство. От противного: предположим, что функция имеет по меньшей мере корней на отрезке По

теореме Ролля производная имеет не менее корней и т.д. Тогда имеет корень Поэтому

Пусть есть корень тогда

Продолжим эту процедуру: проинтегрируем от корня функции и получим

Следовательно, справедлива оценка

Тогда

т. е.

что противоречит условию (15.20). Лемма доказана.

Теперь докажем теорему 15.5.

Доказательство. Как было показано при доказательстве теоремы 15.4, число переключений не больше числа корней функции удовлетворяющей дифференциальному уравнению (15.17).

Имеем

По лемме 15.2, если

то функция имеет не более вещественных корней на любом отрезке длины 5. Но неравенство (15.21) равносильно следующему:

поэтому имеет не более корней на любом отрезке длины