22.3. Управление угловой скоростью

Рассмотрим систему, описывающую управление угловой скоростью вращающегося твердого тела (см. (6.19)),

Здесь вектор угловой скорости твердого тела в системе координат, связанной с телом, а единичный вектор в общем положении, вдоль которого прикладывается момент. Заметим, что в параграфе 6.4 допускался только момент сейчас же момент неограничен. В параграфе 8.4 было доказано, что система с ограниченным управлением вполне управляема (даже в шестимерном пространстве). Сейчас мы покажем, что с неограниченным управлением получается полная управляемость в за сколь угодно малое время.

Применим процедуру редукции к исходной системе (22.14). Частичная система теперь имеет вид

Фактор по модулю орбит постоянного поля I может быть реализован как плоскость проходящая через начало координат и ортогональная Тогда проекция есть ортогональная проекция

вдоль и редуцированная система имеет вид

Введем декартовы координаты в соответствующие ортонормированному реперу с базисными векторами, коллинеарными векторам В этих координатах и редуцированная система (22.15) принимает форму

где матрица оператора в выбранном ортонормированном репере. Прямое вычисление показывает, что полярных координатах в плоскости редуцированная система (22.16), (22.17) имеет вид

где однородные многочлены степени 2, причем

Подбирая подходящие управления, можно построить траектории системы в следующих двух типов:

(1) «спирали», т. е. траектории, начинающиеся и заканчивающиеся на положительной полуоси не проходящие через начало координат и вращающиеся против часовой стрелки

(2) «горизонтальные» траектории, почти параллельные оси

Рис. 22.1. Полная управляемость системы (22.15)

Более того, по этим траекториям можно двигаться быстро. Действительно, система (22.16), (22.17) имеет очевидную симметрию — она инвариантна относительно замен переменных Следовательно, существуют «спирали», сколь угодно далекие от начала координат, со сколь угодно малым временем полного оборота вокруг нуля. Далее, из уравнений (22.16), (22.17) легко видеть, что при больших по модулю управлениях получаются сколь угодно быстрые движения вдоль «горизонтальных» траекторий в положительном направлении оси

Комбинируя движения типов (1) и (2), можно перевести любую точку в любую точку за произвольное время (рис. 22.1). Мы оставляем подробности этих рассуждений читателю в качестве упражнения (см. также [42]).

Итак, множества достижимости редуцированной системы (22.15) из точки х за время удовлетворяют свойству

В силу цепочки (22.8) множества достижимости исходной системы (22.14) удовлетворяют равенству

Так как вектор I находится в общем положении, -мерная система (22.14) имеет полный ранг (см. предложение 6.1), поэтому она вполне управляема за сколь угодно малое время: