2.6. Коммутирование полей

Пусть неавтономное векторное поле, и пусть его поток. Выясним, при каких условиях поток сохраняет векторное поле

или, что то же самое, когда выполняется тождество

Предложение 2.6.

Доказательство. Имеем

Поэтому тогда и только тогда, когда

Вообще говоря, потоки не коммутируют ни для неавтономных векторных полей

ни для автономных векторных полей

В автономном случае коммутирование потоков равносильно коммутированию векторных полей:

Мы уже показали необходимость коммутирования векторных полей для коммутирования их потоков, сейчас докажем достаточность. Имеем

Учитывая равенство (2.25), получаем