24.3. Допустимые скорости

Вернемся к задаче о качении тел и запишем условия допустимости (24.1), (24.2) для кривой как ограничения на скорость

Разложим скорости кривых контакта в в ортонормированных реперах:

Тогда условие непроскальзывания (24.1) принимает форму

Рассмотрим условие непрокручивания (24.2). Обозначим структурные константы в реперах:

Пусть есть отображение, индуцированное изометрией благодаря отождествлению касательных и кокасательных пространств:

В кокасательном расслоении условие непрокручивания означает, что если

есть параллельное ковекторное поле вдоль кривой то

есть параллельное ковекторное поле вдоль кривой

В силу того, что изометрия поворачивает касательные пространства на угол отображение поворачивает кокасательные пространства на тот же угол: поэтому

Ковекторное поле параллельно вдоль кривой на базе тогда и только тогда, когда

Аналогично, параллельно вдоль тогда и только тогда, когда

В силу равенства (24.10), условие непрокручивания принимает форму

Итак, условия допустимости (24.1) и (24.2) для катящихся тел определяют ограничения (24.9) и (24.11) вдоль кривых контакта (24.7), (24.8), т.е. распределение ранга два А на порожденное локально векторными полями

Допустимые движения катящихся тел суть траектории управляемой системы