По неравенству Коши-Буняковского
более того, равенство имеет место только при 
Следовательно, риманова задача 
эквивалентна задаче
Функционал 
удобнее, чем 
так как 
гладок и его экстремали — автоматически кривые с постоянной скоростью. Далее будем рассматривать задачу с функционалом 
Гамильтониан принципа максимума для этой задачи равен
Условие максимума ПМП имеет вид
(1) Анормальный случай: 
Из условия максимума следует, что 
Это противоречит ПМП, так как пара 
должна быть отличной от нуля. Поэтому анормальных экстремалей в данной задаче нет.
(2) Нормальный случай: 
Условие максимума дает 
поэтому максимизированный гамильтониан гладок:
Заметим, что гамильтониан 
инвариантен (не зависит от 
), что является следствием левоинвариантности задачи.
Оптимальное траектории суть проекции решений гамильтоновой системы, соответствующей 
Эта гамильтонова система имеет вид (см. (18.18))
Поэтому оптимальные траектории — левые сдвиги однопараметрических подгрупп в М:
Напомним, что оптимальные решения существуют. В частности, для случая 
получаем, что любая точка 
может быть представлена в виде
То есть любой элемент 
компактной алгебры Ли 
имеет логарифм а в алгебре Ли 
компактная группа 
Инвариантное скалярное произведение 
на алгебре Ли 
определяет левоинвариантную риманову структуру на М:
имеется скалярное произведение 
Для любой липшицевой кривой
найти кратчайшую кривую в 
соединяющую с 
на фиксированном отрезке 
[0,1] эквивалентна задаче с компактным пространством управляющих параметров 
и свободным конечным временем. После этого можно расширить пространство управляющих параметров до 
чтобы множество допустимых скоростей 
стало выпуклым. Тогда из теоремы Филиппова следует существование оптимальных управлений в полученной, а потому и в исходной задаче.
