23.1.2. Уравнение Якоби в подвижном репере.

Мы используем построенный подвижный репер для того, чтобы вывести дифференциальное уравнение для определения сопряженного времени нашей двумерной системы — уравнение Якоби в подвижном репере.

Как в гл. 21, рассмотрим уравнение Якоби вдоль регулярной экстремали двумерной системы (23.1):

и его поток

Напомним, что вертикальное подпространство в — подпространство постоянных вертикальных решений уравнения Якоби на (см. (21.30)). Пересечение всегда

содержит подпространство Момент есть сопряженное время для экстремали тогда и только тогда, когда это пересечение больше, чем

Для того чтобы дополнить репер до базиса в рассмотрим векторное поле, трансверсальное вертикальное эйлерово поле имеющее поток

В координатах на это поле имеет вид

Векторные поля образуют базис в Поля и вертикальны:

Чтобы найти вертикальное подпространство вычислим действие потока на эти поля. При доказательстве теоремы 21.3 мы разложили поток уравнения Якоби:

Поэтому

Гамильтониан однороден порядка один на слоях, следовательно, поток также однороден:

а поля коммутируют. То есть гамильтоново векторное поле сохраняет вертикальное эйлерово поле Далее, поток линеен на слоях, поэтому он также сохраняет поле Итак, вектор инвариантен относительно потока уравнения Якоби, т. е.

Легко видеть, что это включение — на самом деле равенство. Действительно, учитывая скобку (23.10), получаем

поэтому

при малых Это означает, что

Поэтому момент есть сопряженное время тогда и только тогда, когда

т. е.

или, что равносильно,

Теперь опишем действие потока произвольного поля на подвижный репер.

Лемма 23.1. Пусть гладкое многообразие, и пусть векторные поля образуют подвижный репер на Возьмем векторное поле Пусть оператор имеет матрицу в этом репере:

Тогда матрица оператора в подвижном репере:

является решением следующей задачи Коши:

где

Доказательство. Начальное условие (23.16) очевидно. Для того чтобы получить матричное уравнение (23.15), продифференцируем тождество (23.14) по

и дифференциальное уравнение получено.

Учитывая включение (23.13), заключаем, что момент есть сопряженное время тогда и только тогда, когда коэффициенты разложения

удовлетворяют равенствам

По предыдущей лемме матрица является решением задачи Коши (23.15), (23.16) с матрицей

(см. соотношения между скобками Ли

Итак, момент есть сопряженное время тогда и только тогда, когда решения задач Коши

и

удовлетворяют равенствам

Но задача Коши для 731, 732 имеет только тривиальное решение. Поэтому для сопряженного времени получаем линейную неавтономную систему в переменных

Мы будем называть систему (23.17), или, что равносильно, дифференциальное уравнение второго порядка

уравнением Якоби для системы (23.1) в подвижном репере. Доказано следующее предложение.

Теорема 23.2. Момент есть сопряженное время для двумерной системы (23.1) тогда и только тогда, когда граничная задача (23.18) имеет нетривиальное решение.

Из теоремы сравнения Штурма для дифференциальных уравнений второго порядка (см., например, [138]) вытекает следующая теорема сравнения для сопряженных точек.

Теорема 23.3. (1) Если для некоторого вдоль экстремали А, то на временном отрезке 0, нет сопряженных точек. В частности, если к вдоль А, то сопряженных точек нет.

(2) Если вдоль А, то на отрезке 0, — есть сопряженная точка.

Характерное поведение экстремальных траекторий двумерной системы (23.1) в случаях отрицательной и положительной кривизны изображено на рис. 23.1 и рис. 23.2 соответственно.

Рис. 23.1. Экстремальные траектории:

Рис. 23.2. Экстремальные траектории:

Пример 23.1. Рассмотрим управляемую систему, соответствующую римановой задаче на -мерном многообразии М:

где ортонормированный репер римановой структуры

В этом случае к есть гауссова кривизна риманова многообразия вычисляемая следующим образом:

где q - структурные константы репера

(Мы докажем эту формулу для к в гл. 24.)

Для римановой задачи кривизна зависит только от точки на базе но не от координаты в в слое. Вообще говоря, это не так: кривизна есть функция от

Условия оптимальности в терминах сопряженных точек, полученные в гл. 21, могут быть легко применены к рассматриваемой двумерной системе (23.1).

Предположим сначала, что есть сопряженное время для экстремали системы (23.1). Проверим выполнение условий предложения 21.2. Из условия (23.2) следует, что экстремаль регулярна. Соответствующее управление и имеет коранг один, так как множитель Лагранжа однозначно определяется из принципа максимума (с точностью до скалярного множителя). Далее, уравнение Якоби не может иметь решений вида (21.28): если бы это было так, то уравнение Якоби в подвижном репере имело бы

нетривиальное решение с граничными условиями что невозможно. Итак, экстремаль удовлетворяет условиям предложения 21.2, и альтернатива (1) этого предложения не реализуется. Поэтому соответствующая экстремальная траектория не является локально геометрически оптимальной.

Если отрезок не содержит сопряженных точек, то по теореме 21.4 соответствующая экстремальная траектория оптимальна по быстродействию по сравнению со всеми другими допустимыми траекториями, достаточно близкими в