4.2. Глобальная линеаризуемость

Теперь докажем следующее предложение о глобальной эквивалентности.

Теорема 4.2. Пусть связное гладкое n-мерное многообразие, и пусть Диффеоморфизм

многообразия на произведение -мерного тора Тк и пространства для некоторого такой, что

для некоторой -матрицы А с нулевыми первыми к столбцами:

и векторами удовлетворяющими условию управляемости (3.10), существует тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Замечания. (1) Если вдобавок многообразие односвязно, то оно диффеоморфно т. е.

(2) Если же многообразие компактно, т.е. диффеоморфно то на не существует глобально линеаризуемых систем. Действительно, тогда и условие управляемости (3.10) нарушается.

Докажем теорему 4.2.

Доказательство. Достаточность. Зафиксируем произвольную точку и выберем в базис из векторов вида

(1) Сначала покажем, что векторные поля линейно независимы всюду на Очевидно, что множество

открыто. Покажем, что оно замкнуто. На этом множестве справедливо разложение

для некоторых функций а Докажем, что на самом деле все постоянны. Имеем

(применяем правило Лейбница

поэтому

Это означает, что равенство (4.10) справедливо в замыкании О. Следовательно, векторные поля линейно независимы в О (если это не так, то все семейство линейно зависимо в О). Итак, множество О замкнуто. Так как оно одновременно открыто, а связно, то

т. е. векторные поля линейно независимы в

(2) Определим «обращение» искомого диффеоморфизма следующим образом:

(учитываем, что векторные поля коммутируют)

(3) Покажем, что гладкое отображение регулярно, т. е. его дифференциал сюръективен. Действительно,

поэтому

Итак, отображение регулярно, потому локально диффеоморфно. В частности, его образ открыт.

(4) Докажем, что множество замкнуто. Возьмем любую точку Так как векторные поля линейно независимы, образ отображения

содержит окрестность точки Поэтому существует такое что

т. е.

для некоторого Тогда

Иными словами,

Поэтому множество замкнуто. Так как оно открыто и связно, то

(5) Легко видеть, что прообраз

есть подгруппа абелевой группы Действительно, пусть

Тогда

Аналогично, если

то

Наконец,

(6) Далее, дискретная подгруппа в малая окрестность начала координат в не содержит ненулевых элементов прообраза так как локальный диффеоморфизм.

(7) Отображение корректно определено на факторе Действительно, пусть Тогда

Поэтому определено отображение

(8) Отображение (4.11) взаимно однозначно: если

то

поэтому

(9) Из доказанного следует, что отображение (4.11) — диффеоморфизм. По лемме 4.2, приведенной ниже, дискретная подгруппа группы является решеткой:

поэтому фактор по ней — цилиндр:

Итак, мы построили диффеоморфизм

Равенства (4.8) и (4.9) доказываются в точности, как в теореме 4.1. Векторное поле с корректно определено на факторе Тк х поэтому справедливы равенства (4.6). Достаточность доказана.

Необходимость. Очевидно, что условия (4.7) и (4.9) выполняются для любой линейной системы на цилиндре Тк Если линейная система управляема на цилиндре, то она управляема и на поэтому условие управляемости (4.8) также выполняется.

Докажем следующее общее предложение, которым мы воспользовались выше.

Лемма 4.2. Пусть дискретная подгруппа в Тогда она является решеткой, т. е. существуют линейно независимые векторы такие, что

Доказательство. Будем доказывать индукцией по размерности объемлющей группы

Рис. 4.1. Решетка, порожденная векторами

(1) Пусть Так как подгруппа дискретна, в ней существует ближайший к началу координат элемент По групповому свойству все кратные также содержатся в Докажем, что не содержит других элементов.

От противного: предположим, что существует элемент такой, что Тогда элемент содержится в интервале Но тогда ближе к началу координат, чем что противоречит предположению. Следовательно, что и требовалось доказать.

(2) Докажем шаг индукции: предположим, что утверждение леммы доказано для некоторого и докажем его для следующего номера

Выберем ближайший к началу координат элемент Обозначим через I прямую Мех, а через решетку Предположим, что (в противном случае все доказано).

Покажем, что существует ближайший к I элемент

Возьмем любой отрезок и обозначим через ортогональную проекцию из на В силу компактности отрезка I и дискретности подгруппы -мерная полоса содержит ближайший к I элемент

Тогда элемент искомый: он удовлетворяет равенству (4.12), так как любой элемент из можно перенести в полосу элементами решетки

Поэтому достаточно малая окрестность прямой I не содержит элементов из дополнения Следовательно, факторгруппа есть дискретная подгруппа в По предположению индукции решетка, значит, также решетка.