Глава 24. КАЧЕНИЕ ТЕЛ

В этой главе мы применим теорему об орбите и принцип максимума Понтрягина к инвариантной геометрической модели качения пары твердых тел. Будет решена задача управляемости, в частности, мы покажем, что система вполне управляема тогда и только тогда, когда тела не изометричны. Мы поставим задачу оптимального управления и изучим ее экстремали.

24.1. Геометрическая модель

Рассмотрим два твердых тела в трехмерном пространстве, катящихся одно по другому без проскальзывания и прокручивания, рис. 24.1.

Вместо вложения задачи в рассмотрим инвариантную геометрическую модель этой системы.

Рис. 24.1. Катящиеся тела

Пусть суть двумерные связные многообразия — поверхности катящихся тел. Для того чтобы измерять длины кривых на будем считать, что каждое из этих многообразий риманово, т. е. имеет риманову структуру — скалярное произведение в касательных пространствах, гладко зависящее от точки многообразия:

Более того, мы предполагаем, что ориентированы (поверхности твердых тел в ориентированы вектором внешней нормали)

В точках контакта тел касательные пространства отождествляются с помощью изометрии (т. е. линейного отображения, сохраняющего римановы структуры)

(рис. 24.2).

Мы имеем дело только с сохраняющими ориентацию изометриями и далее будем опускать слова «сохраняющие ориентацию» для упрощения языка. Изометрия есть состояние системы, и пространство состояний есть связное -мерное многообразие

Рис. 24.2. Отождествление касательных пространств в точке контакта

Обозначим проекции из на :

Локальные координаты на можно ввести следующим образом. Выберем произвольные локальные ортонормированные реперы на на М:

Для любой конфигурации тел обозначим через в угол поворота от репера к реперу в точке контакта:

Тогда локально точки параметризуются тройками Выбирая локальные координаты на на получаем локальные координаты на

Пусть есть кривая, соответствующая движению катящихся тел. Тогда суть траектории точек контакта в соответственно. Условие отсутствия проскальзывания означает, что

а условие отсутствия прокручивания геометрически формулируется следующим образом:

Наша модель игнорирует ограничения состояния, соответствующие допустимости контакта тел, вложенных в Впрочем, заметим, что если поверхности имеют соответственно положительную и неотрицательную гауссовы кривизны в точке, то их контакт локально допустим.

Из условий допустимости (24.1) и (24.2) следует, что кривая однозначно определяет все движение То есть скорости допустимых движений определяют распределение А ранга 2 в -мерном пространстве Мы покажем это формально и вычислим распределение А явно ниже. Перед этим напомним некоторые начальные сведения из римановой геометрии.