Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 12. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА

В этой главе мы докажем фундаментальное необходимое условие оптимальности для задач оптимального управления — принцип максимума Понтрягина (ПМП). Чтобы получить бескоординатную формулировку принципа максимума, мы используем технику симплектической геометрии, изложенную в предыдущей главе. Первая классическая версия ПМП была получена Понтрягиным и его сотрудниками [15] для задач оптимального управления в евклидовом пространстве.

12.1. Геометрическая постановка и обсуждение принципа максимума

Рассмотрим задачу оптимального управления, поставленную в параграфе 10.1 для управляемой системы

с начальным условием

Определим семейство функций Гамильтона:

В терминах предыдущей главы

Зафиксируем произвольный момент времени

В параграфе 10.2 задача оптимального управления была сведена к исследованию границы множеств достижимости. Сформулируем необходимое условие оптимальности в этой геометрической постановке.

Теорема 12.1 (ПМП). Пусть есть допустимое управление, соответствующее решение задачи Коши (12.1), (12.2). Если

то существует такая липшицева кривая в кокасательном расслоении

что

для почти всех

Если допустимое управление, липшицева кривая в для которой выполняются условия (12.3)-(12.5), то говорят, что пара удовлетворяет ПМП. В этом случае кривая А называется экстремалью, а ее проекция экстремальной траекторией.

Замечание. Если пара удовлетворяет принципу максимума, то

Действительно, так как допустимое управление ограничено, максимум в правой части (12.5) можно брать по компакту Далее, функция

липшицева по Покажем, что производная этой функции равна нулю. Для любого допустимого управления

поэтому

Следовательно,

если функция дифференцируема в точке Аналогично,

поэтому

Итак,

и тождество (12.6) доказано.

Гамильтонова система принципа максимума

является расширением исходной системы (12.1) на кокасательное пространство. Действительно, в канонических координатах из гамильтоновой системы получаем

То есть решение системы (12.7) есть гамильтонов лифт решения системы (12.1):

Прежде чем доказать принцип максимума Понтрягина, обсудим это утверждение.

Дадим эвристическое объяснение того, что кривая ковекторов естественно возникает при изучении траекторий, приходящих на границу множества достижимости. Пусть

Рис. 12.1. Опорная гиперплоскость и нормальный ковектор ко множеству достижимости в точке

Идея состоит в том, чтобы рассмотреть нормальный ковектор ко множеству достижимости вблизи более точно — нормальный ковектор к некоторому выпуклому касательному конусу к . В силу включения (12.8) этот выпуклый конус должен быть собственным. Поэтому он имеет опорную гиперплоскость, т. е. линейную гиперплоскость в которая ограничивает полупространство, содержащее этот конус. Далее, эта опорная гиперплоскость есть ядро некоторого нормального ковектора (рис. 12.1). Ковектор — аналог множителей Лагранжа.

Чтобы построить всю кривую рассмотрим поток, порожденный управлением

Легко видеть, что

Действительно, если точка достижима из вдоль управления , то точка достижима из вдоль управления

Далее, диффеоморфизм удовлетворяет условию

Поэтому если то От противного из включения (12.8) следует, что

Касательный конус к в точке имеет нормальный ковектор По предложению 11.3 кривая есть траектория гамильтонова векторного поля т. е. гамильтоновой системы ПМП.

Несложно получить и условие максимума ПМП. Касательный конус к должен содержать инфинитезимальное множество достижимости из точки

т. е. множество векторов, получаемых вариациями управления и вблизи Поэтому ковектор должет задавать опорную гиперплоскость к этому множеству:

т. е.

Перенося ковектор потоком получаем условие максимума

Следующее утверждение демонстрирует силу принципа максимума.

Предложение 12.1. Предположим, что максимизированный гамильтониан принципа максимума

определен и -гладок на

Если пара удовлетворяет принципу максимума, то

Обратно: если липшицева кривая является решением гамильтоновой системы (12.9), то можно подобрать допустимое управление так, чтобы пара удовлетворяла ПМП.

Иными словами, в благоприятном случае, когда максимизированный гамильтониан является -гладким, принцип максимума сводит задачу к исследованию решений всего одной гамильтоновой системы (12.9). С точки зрения размерности это — лучшее, чего можно ожидать. Действительно, для полномерного множества достижимости имеем т.е. нам требуется -параметрическое семейство кривых для описания границы С другой стороны, семейство решений гамильтоновой системы (12.9) с начальным условием является n-мерным. Учитывая однородность гамильтониана Н:

получаем искомое -мерное семейство кривых. Докажем предложение 12.1.

Доказательство. Покажем, что если допустимое управление удовлетворяет условию максимума (12.5), то

По определению максимизированного гамильтониана

С другой стороны, в силу условия максимума вдоль экстремали это неравенство обращается в равенство:

Поэтому

Но гамильтоново векторное поле получается из дифференциала гамильтониана стандартным линейным преобразованием, поэтому равенство (12.10) доказано.

Обратно: пусть есть траектория гамильтоновой системы Так же, как в доказательстве теоремы Филиппова, выберем допустимое управление на котором достигается максимум вдоль А:

Мы показали выше, что тогда выполняется равенство (12.10). Поэтому пара удовлетворяет принципу максимума.

1
Оглавление
email@scask.ru