10.3. Компактность множеств достижимости

Благодаря сведению задач оптимального управления к исследованию множеств достижимости существование оптимальных решений сводится к компактности множеств достижимости.

В следующем предложении даются достаточные условия компактности множеств достижимости для управляемой системы (10.1): за время за время не больше

Теорема 10.1 (А. Ф. Филиппов). Пусть пространство управляющих параметров компактно. Пусть существует компакт такой, что при Предположим также, что множества допустимых скоростей

выпуклы.

Тогда множества достижимости компактны для всех

Замечание. Условие выпуклости множества допустимых скоростей естественно ввиду теоремы 8.2: поток уравнения

аппроксимируется потоками систем вида

Приведем эскиз доказательства теоремы 10.1.

Доказательство. Во-первых, заметим, что все неавтономные векторные поля с допустимыми управлениями и имеют компактный общий носитель, поэтому полны. Далее, в условиях теоремы скорости равномерно ограничены, поэтому все траектории управляемой системы (10.1), выходящие из липшицевы с одной и той же константой Липшица. Поэтому множество допустимых траекторий предкомпактно в топологии равномерной

сходимости. (Можно вложить многообразие в евклидово пространство тогда пространство непрерывных кривых наследует равномерную топологию непрерывных отображений из Любая последовательность допустимых траекторий

содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность, сохраним за ней обозначение

Покажем, что допустимая траектория управляемой системы (10.1).

Зафиксируем достаточно малое Тогда в локальных координатах

где с — удвоенная константа Липшица допустимых траекторий. Переходя к пределу при получаем

Теперь пусть Если точка дифференцируемости то

так как компактно.

Чтобы показать, что допустимая траектория управляемой системы (10.1), мы должны найти измеримый селектор порождающий Это можно сделать, используя лексикографический порядок на множестве Множество

является компактным подмножеством а потому и Существует вектор минимальный в смысле лексикографического порядка. Чтобы найти сначала минимизируем первую координату на

затем минимизируем вторую координату на компактном множестве, полученном на первом шаге:

и так далее,

Управление измеримо, поэтому есть допустимая траектория системы (10.1), порожденная этим управлением.

Мы доказали компактность множества достижимости Компактность доказывается аналогичным рассуждением.

Замечание. Условие общего компактного носителя векторных полей в правой части существенно в теореме Филиппова для обеспечения равномерной ограниченности скоростей и полноты векторных полей. На многообразии достаточные условия полноты векторного поля невозможно дать в терминах ограниченности векторного поля и его производных: даже постоянное векторное поле неполно в ограниченной области в Однако во многих случаях компактность множеств достижимости можно доказать и без предположения компактного общего носителя. Если имеются априорные оценки решений управляемой системы, можно умножить правую часть на функцию срезки и получить систему с векторными полями, имеющими общий компактный носитель. К новой системе теорема Филиппова уже применима. Но исходная и новая системы имеют одни и те же траектории в рассматриваемой области, поэтому исходная система имеет компактные множества достижимости.

Для систем на имеется хорошо известное достаточное условие полноты векторных полей: если правая часть растет на бесконечности не быстрее линейного поля, т. е.

для некоторой константы С, то неавтономные поля полны (здесь норма точки ).

Это условие дает и априорную оценку решений: любое решение управляемой системы

с правой частью, удовлетворяющей неравенству (10.13), допускает оценку

Поэтому теорема Филиппова и предшествующее замечание дают следующее достаточное условие компактности множеств достижимости для систем в

Следствие 10.1. Пусть система (10.14) имеет компактное пространство управляющих параметров и выпуклые множества скоростей Предположим также, что правая часть системы удовлетворяет оценке вида (10.13).

Тогда множества достижимости компактны для любых