Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ХРОНОЛОГИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

В этой главе мы построим операторное исчисление, с помощью которого можно работать с нелинейными системами и потоками как с линейными, по крайней мере на формальном уровне. Идея состоит в том, чтобы заменить нелинейный объект — гладкое многообразие линейным, хотя и бесконечномерным — коммутативной алгеброй гладких функций на Более подробное изложение этих вопросов читатель может найти в работах [20, 23]. Для изучения начальных определений и фактов функционального анализа, использующихся в этой главе, можно обратиться, например, к учебнику [146].

2.1. Точки, диффеоморфизмы и векторные поля

В этом параграфе мы отождествляем точки, диффеоморфизмы и векторные поля на многообразии с некоторыми функционалами и операторами в алгебре всех гладких вещественнозначных функций на

Сложение, произведение и умножение на константы определяются в алгебре как обычно, поточечно: если то

Любая точка определяет линейный функционал

>

Функционалы суть гомоморфизмы из алгебры

Поэтому любой точке соответствует нетривиальный гомоморфизм алгебр Оказывается, что это соответствие обратимо.

Предложение 2.1. Пусть нетривиальный гомоморфизм алгебр. Тогда существует такая точка что

Мы докажем это утверждение в приложении.

Замечание. Алгебра определяет не только как множество точек. Топология на восстанавливается по слабой

топологии на пространстве функционалов на

Более того, гладкую структуру на также можно восстановить по фактически «по определению»: вещественнозначная функция на множестве является гладкой тогда и только тогда, когда она имеет вид для некоторого

Любой диффеоморфизм Р: определяет автоморфизм алгебры

т. е. действует на функцию а как замена переменных. Обратно любой автоморфизм алгебры имеет такой вид. Предложение 2.2. Любой автоморфизм

имеет вид для некоторого

Доказательство. Пусть Возьмем любую точку Тогда композиция

есть нетривиальный гомоморфизм алгебр, поэтому она имеет вид для некоторого Обозначим Тогда

т. е.

и искомый диффеоморфизм.

Теперь мы опишем касательные векторы к как функционалы на Касательные векторы к суть векторы скорости кривых в а точки отождествляются с линейными функционалами на поэтому мы должны получить линейные функционалы на отличные от гомоморфизмов в Чтобы понять, какие именно функционалы на соответствуют касательным векторам к возьмем гладкую кривую из точек Тогда соответствующая кривая из функционалов на удовлетворяет мультипликативному закону

Продифференцировав это равенство при получаем, что вектор скорости кривой из функционалов

удовлетворяет правилу Лейбница

Значит, каждому касательному вектору мы должны сопоставить линейный функционал

такой, что

Но имеется линейный функционал естественно соответствующий любому касательному вектору производная по направлению

и этот функционал удовлетворяет правилу Лейбница (2.1).

Покажем, что это правило в точности характеризует производные по направлению.

Предложение 2.3. Пусть : линейный функционал, удовлетворяющий правилу Лейбница (2.1) для некоторой точки Тогда для некоторого касательного вектора

Доказательство. Заметим сначала, что любой функционал удовлетворяющий правилу Лейбница (2.1), локален, т.е. зависит только от значений функций в сколь угодно малой окрестности точки

Действительно, возьмем функцию срезки такую, что Тогда а, следовательно,

Поэтому наше утверждение локально, и мы докажем его в координатах.

Выберем локальные координаты на центрированные в точке Требуется доказать, что существуют такие, что

Во-первых,

поэтому В силу линейности

Во-вторых, чтобы вычислить действие на произвольной гладкой функции, разложим ее по лемме Адамара:

где

суть гладкие функции. Тогда

где мы обозначили воспользовались равенством

Итак, касательные векторы отождествляются с производными по направлению т.е. с линейными функционалами, удовлетворяющими правилу Лейбница (2.1).

Теперь мы охарактеризуем векторные поля на Гладкое векторное поле на есть семейство касательных векторов такое, что для любого отображение есть гладкая функция на

Гладкому векторному полю соответствует линейный оператор

удовлетворяющий правилу Лейбница

это — производная по направлению поля У, производная Ли.

Линейный оператор в алгебре, удовлетворяющий правилу Лейбница, называется дифференцированием алгебры, т. е. производная Ли V есть дифференцирование алгебры Покажем, что соответствие между гладкими векторными полями на и дифференцированиями алгебры обратимо.

Предложение 2.4. Любое дифференцирование алгебры есть производная по направлению некоторого гладкого векторного поля на

Доказательство. Пусть дифференцирование. Возьмем любую точку Покажем, что линейный функционал

есть производная по направлению в точке удовлетворяет правилу Лейбница (2.1):

Итак, мы можем отождествить точки диффеоморфизмы и векторные поля соответственно с нетривиальными гомоморфизмами автоморфизмами и дифференцированиями

Например, точку можно записать в операторных обозначениях как до Более того, мы будем опускать крышки и писать Это не приведет к двусмысленности: если стоит справа от то точка, диффеоморфизм, а значение диффеоморфизма в точке А если стоит слева от то гомоморфизм, автоморфизм, а гомоморфизм алгебры Аналогично есть значение векторного поля V в точке производная по направлению вектора