2.3. Семейства функционалов и операторов

В дальнейшем мы часто будем рассматривать однопараметрические семейства точек, диффеоморфизмов и векторных полей, удовлетворяющих различным свойствам регулярности (например, дифференцируемости или абсолютной непрерывности) относительно параметра. Так как мы отождествляем точки с функционалами, а диффеоморфизмы и векторные поля — операторами на то свойства регулярности для них мы можем определить в слабом смысле, через соответствующие свойства однопараметрических семейств функций

Поэтому сначала дадим определения для семейств функций.

Непрерывность и дифференцируемость семейства функций по параметру определяются стандартным образом, так как топологическое векторное пространство. Семейство называется измеримым по если функция измерима для любого Измеримое семейство называется локально интегрируемым, если

Семейство называется абсолютно непрерывным по если

для некоторого локально интегрируемого семейства функций Семейство называется липшицевым по если

и локально ограниченным по если

где и некоторые константы, зависящие от

Теперь мы можем определить свойства регулярности семейств функционалов и операторов на Семейство линейных функционалов на

удовлетворяет некоторому свойству регулярности (т. е. является непрерывным, дифференцируемым, измеримым, локально интегрируемым, абсолютно непрерывным, липшицевым, локально ограниченным по если семейство

удовлетворяет этому свойству для любого

Локально ограниченное по семейство векторных полей

называется неавтономным векторным полем или просто векторным полем на Абсолютно непрерывное по семейство диффеоморфизмов

называется потоком на Для любого неавтономного векторного поля семейство функций а локально интегрируемо для любого Аналогично, для любого потока семейство функций абсолютно непрерывно по для любого

Интегралы измеримых локально интегрируемых семейств и производные дифференцируемых семейств определяются также в слабом смысле:

Можно показать, что если непрерывные семейства, дифференцируемые в точке то семейство непрерывно, дифференцируемо в и удовлетворяет правилу Лейбница:

доказательство приведено в приложении.

Если семейства операторов абсолютно непрерывны, то композиция также абсолютно непрерывна; то же самое справедливо для композиции функционалов и операторов. Для любого абсолютно непрерывного семейства функций семейство также абсолютно непрерывно, и правило Лейбница также справедливо.