Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

19.2. Субриманова задача

Модифицируем предыдущую задачу. Как и раньше, будем искать кратчайшую кривую между фиксированными точками в компактной группе Ли Но теперь допустимые скорости несвободны: они должны касаться левоинвариантного распределения (коранга 1) на То есть мы зададим левоинвариантное поле касательных гиперплоскостей на и скорость должна принадлежать гиперплоскости, приложенной в точке

Рис. 19.1. Субриманова задача

Задача нахождения кратчайшей кривой, касающейся данного распределения, называется субримановой задачей, см. рис. 19.1.

Чтобы сформулировать соответствующую задачу оптимального управления, выберем любой элемент Тогда множество допустимых скоростей в единице есть гиперплоскость

Замечание. В случае это ограничение на скорости означает, что мы фиксируем прямую в твердом теле и разрешаем только вращения тела вокруг любой оси и, ортогональной прямой

Задача оптимального управления ставится следующим образом:

Так же, как в римановой задаче, теорема Филиппова обеспечивает существование оптимальных управлений, и задача минимизации длины эквивалентна задаче

Гамильтониан принципа максимума такой же, как в предыдущей задаче:

но условие максимума отличается, так как теперь множество меньше, чем раньше:

Рассмотрим сначала нормальный случай: Из правила множителей Лагранжа получаем, что максимум

достигается на векторе

ортогональной проекции вектора а на Максимизированный гамильтониан гладок:

и гамильтонова система для нормальных экстремалей имеет вид

Второе уравнение имеет первый интеграл

что легко проверить дифференцированием в силу этого уравнения:

(по инвариантности скалярного произведения)

Следовательно, уравнение для а можно переписать как

где Это линейное дифференциальное уравнение легко решается:

Теперь рассмотрим уравнение для

Это уравнение можно проинтегрировать с помощью формулы вариации. Действительно, по формуле (2.29) получаем

для любых векторных полей Полагая

решаем уравнение (19.5):

Следовательно, нормальные траектории суть произведения двух однопараметрических групп.

Рассмотрим анормальный случай: Гамильтониан

достигает максимума, только если

Но второе уравнение гамильтоновой системы записывается как

поэтому

т. е. В сочетании с (19.8) это означает, что

Отметим, что так как пара должна быть отличной от нуля. Из равенств (19.9) и (19.10) следует, что анормальные экстремальные управления удовлетворяют соотношению

То есть принадлежит подалгебре Ли

Для векторов общего положения подалгебра есть подалгебра Картана в поэтому абелева. В этом случае первое уравнение гамильтоновой системы

содержит только взаимно коммутирующие управления:

и это уравнение легко решается:

Обратно: все траектории вида (19.11) с анормальны, так как они являются проекциями анормальных экстремалей для любых

Приведем элементарное объяснение рассуждения с подалгеброй Картана в случае Любую кососимметрическую матрицу можно привести заменой переменных к диагональной форме

для некоторого Но замены переменных (даже комплексные) не влияют на коммутативность:

поэтому подалгебру можно вычислить, используя новые координаты:

Кососимметрические матрицы общего положения имеют разные собственные значения, поэтому для матриц общего положения диагональная матрица (19.12) имеет разные диагональные элементы. Для таких алгебру Ли легко найти. Действительно, коммутатор диагональной матрицы

с любой матрицей вычисляется следующим образом:

Если диагональная матрица имеет простой спектр:

то алгебра Ли состоит из диагональных матриц вида (19.12), следовательно, абелева.

Итак, для матрицы с разными собственными значениями (т. е. для матрицы общего положения) алгебра Ли абелева, поэтому также абелева.

Возвращаясь к нашей субримановой задаче, подведем итоги: мы вычислили все нормальные экстремальные кривые (19.7) и описали анормальные экстремальные кривые (19.11) для элементов общего положения.

Упражнение 19.1. Рассмотрим более общую субриманову задачу, которая ставится так же, как изученная в этом параграфе, но

теперь пространством управляющих параметров будет любое линейное подпространство, ортогональное дополнение которого относительно инвариантного скалярного произведения есть подалгебра Ли:

Докажите, что нормальные экстремали в этой задаче суть произведения двух однопараметрических групп (как и в рассмотренном выше случае коранга один):

где есть разложение вектора а соответствующее разбиению Мы используем это утверждение при решении следующей задачи.

1
Оглавление
email@scask.ru