19.2. Субриманова задача

Модифицируем предыдущую задачу. Как и раньше, будем искать кратчайшую кривую между фиксированными точками в компактной группе Ли Но теперь допустимые скорости несвободны: они должны касаться левоинвариантного распределения (коранга 1) на То есть мы зададим левоинвариантное поле касательных гиперплоскостей на и скорость должна принадлежать гиперплоскости, приложенной в точке

Рис. 19.1. Субриманова задача

Задача нахождения кратчайшей кривой, касающейся данного распределения, называется субримановой задачей, см. рис. 19.1.

Чтобы сформулировать соответствующую задачу оптимального управления, выберем любой элемент Тогда множество допустимых скоростей в единице есть гиперплоскость

Замечание. В случае это ограничение на скорости означает, что мы фиксируем прямую в твердом теле и разрешаем только вращения тела вокруг любой оси и, ортогональной прямой

Задача оптимального управления ставится следующим образом:

Так же, как в римановой задаче, теорема Филиппова обеспечивает существование оптимальных управлений, и задача минимизации длины эквивалентна задаче

Гамильтониан принципа максимума такой же, как в предыдущей задаче:

но условие максимума отличается, так как теперь множество меньше, чем раньше:

Рассмотрим сначала нормальный случай: Из правила множителей Лагранжа получаем, что максимум

достигается на векторе

ортогональной проекции вектора а на Максимизированный гамильтониан гладок:

и гамильтонова система для нормальных экстремалей имеет вид

Второе уравнение имеет первый интеграл

что легко проверить дифференцированием в силу этого уравнения:

(по инвариантности скалярного произведения)

Следовательно, уравнение для а можно переписать как

где Это линейное дифференциальное уравнение легко решается:

Теперь рассмотрим уравнение для

Это уравнение можно проинтегрировать с помощью формулы вариации. Действительно, по формуле (2.29) получаем

для любых векторных полей Полагая

решаем уравнение (19.5):

Следовательно, нормальные траектории суть произведения двух однопараметрических групп.

Рассмотрим анормальный случай: Гамильтониан

достигает максимума, только если

Но второе уравнение гамильтоновой системы записывается как

поэтому

т. е. В сочетании с (19.8) это означает, что

Отметим, что так как пара должна быть отличной от нуля. Из равенств (19.9) и (19.10) следует, что анормальные экстремальные управления удовлетворяют соотношению

То есть принадлежит подалгебре Ли

Для векторов общего положения подалгебра есть подалгебра Картана в поэтому абелева. В этом случае первое уравнение гамильтоновой системы

содержит только взаимно коммутирующие управления:

и это уравнение легко решается:

Обратно: все траектории вида (19.11) с анормальны, так как они являются проекциями анормальных экстремалей для любых

Приведем элементарное объяснение рассуждения с подалгеброй Картана в случае Любую кососимметрическую матрицу можно привести заменой переменных к диагональной форме

для некоторого Но замены переменных (даже комплексные) не влияют на коммутативность:

поэтому подалгебру можно вычислить, используя новые координаты:

Кососимметрические матрицы общего положения имеют разные собственные значения, поэтому для матриц общего положения диагональная матрица (19.12) имеет разные диагональные элементы. Для таких алгебру Ли легко найти. Действительно, коммутатор диагональной матрицы

с любой матрицей вычисляется следующим образом:

Если диагональная матрица имеет простой спектр:

то алгебра Ли состоит из диагональных матриц вида (19.12), следовательно, абелева.

Итак, для матрицы с разными собственными значениями (т. е. для матрицы общего положения) алгебра Ли абелева, поэтому также абелева.

Возвращаясь к нашей субримановой задаче, подведем итоги: мы вычислили все нормальные экстремальные кривые (19.7) и описали анормальные экстремальные кривые (19.11) для элементов общего положения.

Упражнение 19.1. Рассмотрим более общую субриманову задачу, которая ставится так же, как изученная в этом параграфе, но

теперь пространством управляющих параметров будет любое линейное подпространство, ортогональное дополнение которого относительно инвариантного скалярного произведения есть подалгебра Ли:

Докажите, что нормальные экстремали в этой задаче суть произведения двух однопараметрических групп (как и в рассмотренном выше случае коранга один):

где есть разложение вектора а соответствующее разбиению Мы используем это утверждение при решении следующей задачи.