Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
19.3. Управление квантовыми системамиЭтот параграф основан на работе У. Боскаина, Т. Шамбриона и Ж.-П. Готье [104]. Рассмотрим трехуровневую квантовую систему, которая описывается уравнением Шрёдингера (в системе единиц с
где
есть гамильтониан. Здесь Эту конечномерную задачу можно рассматривать как редукцию бесконечномерной задачи. А именно, начнем с гамильтониана, равного сумме сноса Задача оптимального управления ставится следующим образом. Предположим, что в начальный момент
С физической точки зрения эту задачу можно рассматривать либо с произвольными управлениями
В дальнейшем мы называем вторую задачу минимизации энергии
вещественно-резонансной задачей. Первую задачу (с произвольными комплексными управлениями) будем называть общей комплексной задачей. Так как гамильтониан (19.18) самосопряжен:
Источник и цель, т. е. начальное и конечное многообразия в общей комплексной задаче, суть соответственно окружности
Смысл метки Итак, общая комплексная задача ставится следующим образом:
где гамильтониан Для вещественно-резонансного случая имеем управляемую систему (19.17) с гамильтонианом (19.18), допустимыми управлениями (19.19), (19.20) и функционалом (19.21). Естественные пространство состояний, источник и цель для этой задачи мы определим ниже. 19.3.1. Исключение сноса.Выполним замену переменных, преобразующую аффинную по управлению систему (19.17), (19.18) в линейную по управлению систему, как в общем комплексном, так и в вещественно-резонансном случае. Для
где Пусть
и вещественно-резонансную задачу
В обоих случаях сначала применим замену переменных
Источник 1. Общий комплексный случай. В этом случае выполняем зависящую от времени и сохраняющую функционал замену управлений
После этого задача приобретает форму (с заменой обозначений
Отметим, что матрицы
2. Вещественно-резонансный случай. В этом случае
и мы получаем
Выполним еще одну диагональную линейную замену переменных
после которой получаем:
Выберем такие параметры
Источник и цель также сохраняются этой заменой переменных. Отметим, что матрицы
следующим образом:
где
Функционал, как и раньше, задается формулой (19.27), а соотношение между управлениями до и после устранения сноса имеет вид
Мы будем далее использовать метки
19.3.2. Подъем задач на группы Ли.Задачи
Обозначим проекции
которые обе определяются как
т. е. матрица переводится в свой первый столбец. Будем называть задачи (19.35) на группах Ли Вычислим теперь граничные условия для задач наверху. Обозначим соответствующие источники и цели:
Источник
Обозначим подгруппу в
Далее, матрица
отображает
Аналогично, в вещественном случае источник наверху есть
подгруппа в
а цель есть
Итак, мы можем сформулировать задачи наверху. Вещественная задача наверху имеет вид
где
Заметим, что вещественная задача наверху есть правоинвариантная субриманова задача на компактной группе Ли мы рассматривали в параграфе 19.2. В нашей вещественной задаче
Более того, репер (19.37) ортонормален относительно инвариантного скалярного произведения
Комплексная задача наверху ставится следующим образом:
Здесь
Пространство управляющих параметров есть
Отметим, что его ортогональное дополнение равно
где
причем легко проверить, что
Задачи наверху и внизу связаны между собой следующим образом. Для любой траектории наверху системы внизу, удовлетворяющая граничным условиям в 19.3.3. Управляемость.Множество управляющих параметров
Системы наверху имеют полный ранг и симметричны, поэтому они вполне управляемы на соответствующих группах Ли 19.3.4. Экстремали.Задачи наверху имеют форму, рассмотренную в параграфе 19.2 и упр. 19.1, только они правоинвариантны, а не левоинвариантны. Поэтому нормальные экстремали задаются формулами
для любых
Равенство (19.39) означает, что в задачах наверху векторные поля в правой части и их скобки Ли первого порядка заполняют все касательное пространство. Такие управляемые системы называются 19.3.5. Условия трансверсальности.Для того чтобы отобрать геодезические, удовлетворяющие граничным условиям, проанализируем условия трансверсальности наверху. Условия трансверсальности принципа максимума на
имеют следующий вид:
Используя тривиализацию (18.12) кокасательного расслоения
Здесь угловые скобки
где угловые скобки обозначают инвариантное скалярное произведение в Для правоинвариантной задачи условия трансверсальности записываются в терминах правых сдвигов:
Следующие особенности условий трансверсальности для рассматриваемых задач наверху облегчают их анализ. Лемма 19.1. (1) Условия трансверсальности в источнике требуются только в единице. (2) Из условий трансверсальности в источнике следуют условия трансверсальности в цели. Доказательство. Пункт (1) следует из того, что задача правоинвариантна и источник Пункт (2). Пусть
Докажем условия трансверсальности в цели:
Отметим прежде всего, что в силу включения
Условия трансверсальности в цели (19.44) записываются в виде
Для завершения доказательства покажем, что функция
постоянна. Обозначим касательное пространство
(по инвариантности скалярного произведения)
То есть 19.3.6. Оптимальные геодезические наверху и внизу.По аналогии с
Положим в вещественно-резонансном случае
В общем комплексном случае положим
Здесь 1. Вещественно-резонансный случай. Предложение Доказательство. В силу того, что
уравнение Из предложения 19.1 и условия (19.41) получаем ковекторы, которые нужно использовать в формуле (19.40):
Предложение 19.2. Геодезические (19.40) с начальным условием кратчайшее время (равное длине пути)
Доказательство. Вычисляя
получаем квадрат третьей компоненты волновой функции:
Доказательство данного предложения завершает следующая лемма. Лемма 19.2. Если
Доказательство. Положим
Оба для Зафиксируем для определенности знак минус в (19.45) и
Отметим, что эта кривая не является окружностью на
Получаем
Из условий
Отметим, что фазы Предложение 19.3. Для общей комплексной задачи условия трансверсальности в единице в источнике Доказательство. В силу того, что
уравнение Поэтому в формуле (19.40) нужно использовать ковектор
Предложение 19.4. Геодезические (19.40) с когда
Доказательство. Явное выражение для Три компоненты волновой функции и оптимальное управление выражаются следующим образом:
Отметим, что все геодезические семейства, описанного в предложении 19.4, имеют ту же длину, что и 4 геодезические, описанные в предложении 19.2. Отсюда следует, что использование комплексных гамильтонианов (19.26) вместо вещественных (19.34) не позволяет уменьшить функционал (19.27). Доказано следующее утверждение. Предложение 19.5. Для трехуровневой задачи с комплексными управлениями из оптимальности следует резонанс. Более точно, управления
где
|
1 |
Оглавление
|