19.3. Управление квантовыми системами

Этот параграф основан на работе У. Боскаина, Т. Шамбриона и Ж.-П. Готье [104].

Рассмотрим трехуровневую квантовую систему, которая описывается уравнением Шрёдингера (в системе единиц с

где есть волновая функция и

есть гамильтониан. Здесь постоянные уровни энергии системы и — управления, описывающие воздействие внешнего поля. Управления связаны с физическими параметрами уравнениями где внешнее поле, спаривания (внутренние свойства квантовой системы), о которых мы предполагаем что спариваются только уровни

Эту конечномерную задачу можно рассматривать как редукцию бесконечномерной задачи. А именно, начнем с гамильтониана, равного сумме сноса и потенциала (соответствующего управляющим лазерам). Снос предполагается диагональным с собственными значениями (уровнями энергии) В этом спектральном разрешении мы считаем, что управление спаривает только уровни энергии Задача, спроецированная на собственные пространства, соответствующие полностью расщепляется и описывается гамильтонианом (19.18).

Задача оптимального управления ставится следующим образом. Предположим, что в начальный момент состояние системы принадлежит собственному пространству, соответствующему нижнему уровню энергии Требуется определить управления переводящие систему в конечный момент времени в собственное пространство, соответствующее с минимальным значением функционала (энергии в дальнейшем):

С физической точки зрения эту задачу можно рассматривать либо с произвольными управлениями либо с управлениями «в резонансе»:

В дальнейшем мы называем вторую задачу минимизации энергии которая в этом случае сводится к

вещественно-резонансной задачей. Первую задачу (с произвольными комплексными управлениями) будем называть общей комплексной задачей.

Так как гамильтониан (19.18) самосопряжен: уравнение Шрёдингера (19.17) корректно определено на единичной сфере

Источник и цель, т. е. начальное и конечное многообразия в общей комплексной задаче, суть соответственно окружности

Смысл метки мы разъясним ниже.

Итак, общая комплексная задача ставится следующим образом:

где гамильтониан задается уравнением (19.18).

Для вещественно-резонансного случая имеем управляемую систему (19.17) с гамильтонианом (19.18), допустимыми управлениями (19.19), (19.20) и функционалом (19.21). Естественные пространство состояний, источник и цель для этой задачи мы определим ниже.

19.3.1. Исключение сноса.

Выполним замену переменных, преобразующую аффинную по управлению систему (19.17), (19.18) в линейную по управлению систему, как в общем комплексном, так и в вещественно-резонансном случае.

Для обозначим через матрицы порядка

где — символ Кронекера: при при

Пусть Мы рассмотрим последовательно общую комплексную задачу

и вещественно-резонансную задачу

В обоих случаях сначала применим замену переменных и получим

Источник и цель сохраняются этой первой заменой переменных.

1. Общий комплексный случай. В этом случае выполняем зависящую от времени и сохраняющую функционал замену управлений

После этого задача приобретает форму (с заменой обозначений

Отметим, что матрицы порождают как алгебру Ли. Функционал и связь между управлениями до и после исключения сноса суть следующие:

2. Вещественно-резонансный случай. В этом случае

и мы получаем

Выполним еще одну диагональную линейную замену переменных

после которой получаем:

Выберем такие параметры что тогда уравнение переписывается в виде

Источник и цель также сохраняются этой заменой переменных. Отметим, что матрицы в (19.30) порождают как алгебру Ли. Поэтому орбита системы (19.30), проходящая через точки есть вещественная сфера Следовательно (используя умножение справа на заключаем, что орбита, проходящая через точки есть множество Поэтому (после замены обозначения вещественно-резонансная задача корректно определена на вещественной сфере

следующим образом:

где

Функционал, как и раньше, задается формулой (19.27), а соотношение между управлениями до и после устранения сноса имеет вид

Мы будем далее использовать метки для обозначения соответственно общей комплексной и вещественно-резонансной задач. Если эти метки в формуле опущены, это означает, что формула справедлива как для общей комплексной, так и для вещественно-резонансной задач. В этих обозначениях

19.3.2. Подъем задач на группы Ли.

Задачи на сферах естественно поднимаются до правоинвариантных задач на группах Ли соответственно. Поднятая задача имеет вид

Обозначим проекции

которые обе определяются как

т. е. матрица переводится в свой первый столбец. Будем называть задачи (19.35) на группах Ли задачами наверху, а задачи (19.23), (19.31) на сферах задачами внизу. Мы обозначаем задачу наверху (upstairs) меткой и параллельно с меткой для задач внизу (downstairs).

Вычислим теперь граничные условия для задач наверху. Обозначим соответствующие источники и цели:

Источник состоит из матриц с первым столбцом в

Обозначим подгруппу в состоящую из таких матриц, через То есть цель наверху в общей комплексной задаче есть подгруппа

Далее, матрица

отображает на поэтому

Аналогично, в вещественном случае источник наверху есть

подгруппа в состоящая из матриц

а цель есть

Итак, мы можем сформулировать задачи наверху. Вещественная задача наверху имеет вид

где

Заметим, что вещественная задача наверху есть правоинвариантная субриманова задача на компактной группе Ли с пространством управляющих параметров коранга один; такую задачу

мы рассматривали в параграфе 19.2. В нашей вещественной задаче

Более того, репер (19.37) ортонормален относительно инвариантного скалярного произведения

Комплексная задача наверху ставится следующим образом:

Здесь и задаются формулами (19.37) и

Пространство управляющих параметров есть

Отметим, что его ортогональное дополнение равно

где

причем легко проверить, что подалгебра Ли. Итак, общая комплексная задача имеет форму, рассмотренную в упражнении 19.1. Распределение правоинвариантно, а репер ортонормален в метрике

Задачи наверху и внизу связаны между собой следующим образом. Для любой траектории наверху удовлетворяющей граничным условиям в ее проекция есть траектория

системы внизу, удовлетворяющая граничным условиям в И обратно любую траекторию внизу с граничными условиями можно поднять до траектории наверху с соответствующими граничными условиями есть фундаментальная матрица системы внизу). Задачи наверху и внизу имеют один и тот же функционал качества. Поэтому решения задачи оптимального управления внизу суть проекции решений наверху.

19.3.3. Управляемость.

Множество управляющих параметров в обеих задачах наверху (19.38), (19.36) удовлетворяет свойству поэтому

Системы наверху имеют полный ранг и симметричны, поэтому они вполне управляемы на соответствующих группах Ли Переходя к проекциям получаем, что обе задачи внизу (19.23), (19.31) вполне управляемы на соответствующих сферах

19.3.4. Экстремали.

Задачи наверху имеют форму, рассмотренную в параграфе 19.2 и упр. 19.1, только они правоинвариантны, а не левоинвариантны. Поэтому нормальные экстремали задаются формулами в которых умножение слева заменено умножением справа:

для любых Геодезические параметризуются длиной дуги тогда и только тогда, когда

Равенство (19.39) означает, что в задачах наверху векторные поля в правой части и их скобки Ли первого порядка заполняют все касательное пространство. Такие управляемые системы называются -порождающими. В гл. 20 мы докажем, что в таких задачах строго анормальные геодезические (т. е. траектории, являющиеся проекциями анормальных экстремалей, но не проекциями нормальных экстремалей) не оптимальны (см. рассуждение перед примером 20.1). Поэтому далее мы не рассматриваем анормальные экстремали.

19.3.5. Условия трансверсальности.

Для того чтобы отобрать геодезические, удовлетворяющие граничным условиям, проанализируем условия трансверсальности наверху.

Условия трансверсальности принципа максимума на соответствующие граничным условиям

имеют следующий вид:

Используя тривиализацию (18.12) кокасательного расслоения перепишем условия трансверсальности (19.42) для экстремали в форме

Здесь угловые скобки обозначают действие ковектора на вектор. Условия трансверсальности для экстремали имеют вид

где угловые скобки обозначают инвариантное скалярное произведение в

Для правоинвариантной задачи условия трансверсальности записываются в терминах правых сдвигов:

Следующие особенности условий трансверсальности для рассматриваемых задач наверху облегчают их анализ.

Лемма 19.1. (1) Условия трансверсальности в источнике требуются только в единице.

(2) Из условий трансверсальности в источнике следуют условия трансверсальности в цели.

Доказательство. Пункт (1) следует из того, что задача правоинвариантна и источник есть подгруппа.

Пункт (2). Пусть есть такая нормальная экстремаль для задачи наверху, что Пусть выполняются условия трансверсальности в источнике:

Докажем условия трансверсальности в цели:

Отметим прежде всего, что в силу включения получаем и

Условия трансверсальности в цели (19.44) записываются в виде

Для завершения доказательства покажем, что функция

постоянна. Обозначим касательное пространство Получаем

(по инвариантности скалярного произведения)

То есть и пункт (2) данной леммы доказан.

19.3.6. Оптимальные геодезические наверху и внизу.

По аналогии с (см. формулу (19.22)) определим следующим образом:

Положим в вещественно-резонансном случае

В общем комплексном случае положим

Здесь

1. Вещественно-резонансный случай.

Предложение вещественно-резонансном случае условие трансверсальности в единице в источнике означает, что

Доказательство. В силу того, что

уравнение удовлетворяется для всех тогда и только тогда, когда

Из предложения 19.1 и условия (19.41) получаем ковекторы, которые нужно использовать в формуле (19.40):

Предложение 19.2. Геодезические (19.40) с начальным условием и матрицей а вида (19.45) достигают цели за

кратчайшее время (равное длине пути) тогда и только тогда, когда Более того, четыре геодезические (соответствующие и знакам имеют одну и ту же длину и достигают цели за время

Доказательство. Вычисляя для матрицы а, заданной формулой (19.45), и вспоминая, что

получаем квадрат третьей компоненты волновой функции:

Доказательство данного предложения завершает следующая лемма.

Лемма 19.2. Если

Более того, тогда и только тогда, когда В частности, наименьшее получается при

Доказательство. Положим Тогда

Оба имеют норму 1, и Поэтому для необходимо, чтобы Получаем . Поэтому Следовательно, Обратно: выберем удовлетворяющие этому условию, и Тогда Имеем причем наименьшее получается для (если к то Более того, возможно только

для равных или (1, —1) или или Во всех случаях

Зафиксируем для определенности знак минус в (19.45) и Получаем следующие выражения для трех компонент волновой функции:

Отметим, что эта кривая не является окружностью на Управления можно найти из следующих выражений:

Получаем

Из условий (гипотеза резонанса) получаем внешние поля

Отметим, что фазы произвольны. 2. Общий комплексный случай.

Предложение 19.3. Для общей комплексной задачи условия трансверсальности в единице в источнике означают, что

Доказательство. В силу того, что

уравнение удовлетворяется для всех тогда и только тогда, когда

Поэтому в формуле (19.40) нужно использовать ковектор

Предложение 19.4. Геодезические (19.40) с для которых а задается формулой (19.47), достигают цели за кратчайшее время (совпадающее с длиной дуги) тогда и только тогда,

когда Более того, все геодезические двухпараметрического семейства, соответствующего имеют одну и ту же длину

Доказательство. Явное выражение для дается правой частью формулы (19.46). Утверждение доказывается так же, как предложение

Три компоненты волновой функции и оптимальное управление выражаются следующим образом:

Отметим, что все геодезические семейства, описанного в предложении 19.4, имеют ту же длину, что и 4 геодезические, описанные в предложении 19.2. Отсюда следует, что использование комплексных гамильтонианов (19.26) вместо вещественных (19.34) не позволяет уменьшить функционал (19.27). Доказано следующее утверждение.

Предложение 19.5. Для трехуровневой задачи с комплексными управлениями из оптимальности следует резонанс. Более точно, управления оптимальны тогда и только тогда, когда они имеют следующий вид:

где суть две произвольные фазы. Здесь конечное время выбрано так, чтобы субримановы геодезические были параметризованы длиной дуги, и оно равно