16.3. Экстремали
Мы не можем напрямую применить принцип максимума Понтря-гина к линейно-квадратичной задаче, так как условия существования оптимальных управлений доказаны нами в 
в то время как принцип максимума получен только в 
Однако предположим на время, что ПМП применим к линейно-квадратичной задаче. Легко записать уравнения для оптимальных управлений и траекторий, вытекающие из ПМП, более того, естественно ожидать, что эти уравнения должны выполняться. Сейчас мы выведем эти уравнения, а после этого обоснуем их.
Итак, выпишем принцип максимума для линейно-квадратичной задачи. Зависящий от управления гамильтониан равен
Сначала рассмотрим анормальный случай 
Согласно ПМП присоединенный вектор вдоль анормальной экстремали удовлетворяет уравнению 
поэтому 
условия максимума следует, что 
Дифференцируя это равенство 
раз и учитывая условие управляемости (16.2), получаем 
Это противоречит ПМП, поэтому анормальных траекторий не может быть.
В нормальном случае можно предположить 
Тогда зависящий от управления гамильтониан равен
Зависящее от и слагаемое 
имеет единственный максимум по и 
в точке, где
поэтому
Следовательно, максимизированный гамильтониан равен
Функция Гамильтона 
гладкая, поэтому нормальные экстремали суть решения соответствующей гамильтоновой системы
Покажем теперь, что оптимальные управления и траектории в линейно-квадратичной задаче действительно удовлетворяют уравнениям 
Рассмотрим расширенную систему
и соответствующее отображение в конец:
Благодаря формуле Коши это отображение можно выписать в явном виде:
Пусть 
есть оптимальное управление, 
соответствующая оптимальная траектория. Тогда
По теореме о неявной функции дифференциал
не сюръективен, т.е. существует такой ковектор 
что
Дифференциал отображения в конец находится из явных формул (16.8), (16.9):
Тогда условие ортогональности (16.10) записывается в следующем виде:
т. е.
Случай 
невозможен из-за условия (16.2). Обозначим 
тогда равенство (16.11) принимает вид
где
Итак, равенства (16.5), (16.6) доказаны. Дифференцируя (16.12), получаем последнее требуемое равенство (16.7).
Итак, мы доказали, что оптимальные траектории в линейно-квадратичной задаче суть проекции нормальных экстремалей принципа максимума (16.6), (16.7), а оптимальные управления удовлетворяют уравнению (16.5). В частности, оптимальные траектории и управления аналитичны.
