2.4. Хронологическая экспонента

В этом параграфе мы рассмотрим неавтономное дифференциальное уравнение вида

где неавтономное векторное поле на и изучим поток, определяемый этим полем. Через как обычно, обозначается производная т.е. уравнение (2.4) в развернутой форме записывается как

2.4.1. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.

Построим локальные решения задачи Коши (2.4) на многообразии сводя ее к задаче Коши в евклидовом пространстве. Подробное изложение теории неавтономных дифференциальных уравнений в с правой частью, разрывной по читатель может найти, например, в [140].

Выберем локальные координаты в окрестности точки

В этих координатах поле имеет вид

и задача (2.4) преобразуется в следующую:

В силу локальной ограниченности неавтономного векторного поля компоненты его координатного представления (2.5) являются:

1) измеримыми и локально ограниченными по для любого фиксированного

2) гладкими по х для любого фиксированного

3) дифференцируемыми по х с локально ограниченными частными производными:

В силу классической теоремы Каратеодори (см., например, [8]), задача Коши (2.6) имеет единственное решение, т. е. вектор-функцию липшицеву по гладкую по и такую, что:

1) дифференциальное уравнение (2.6) удовлетворяется для почти всех

2) выполняется начальное условие

Тогда перенос этого решения из на

есть решение задачи (2.4) на Отображение липшицево по и гладко по оно удовлетворяет почти всюду и начальному условию в (2.4).

Для любого решение задачи Коши (2.4) может быть продолжено на максимальный интервал содержащий начало координат и зависящий от

Мы будем предполагать, что решения определены для всех и всех т. е. для любых Тогда неавтономное поле называется полным. Это имеет место, например, когда все поля равны нулю вне общего компакта в (в этом случае будем говорить, что неавтономное векторное поле имеет компактный носитель).

2.4.2. Определение правой хронологической экспоненты.

Уравнение (2.4), записанное как линейное уравнение для липшицевых по семейств функционалов на

удовлетворяется для построенного в предыдущем пункте семейства функционалов

Ниже мы покажем, что эта задача Коши не имеет других решений (см. предложение 2.5). Поэтому поток, определяемый равенством

есть единственное решение операторной задачи Коши

обозначает единичный оператор), в классе липшицевых потоков на Поток определенный в (2.8), называется правой хронологической экспонентой поля и обозначается через

Ниже мы построим асимптотический ряд для хронологической экспоненты, оправдывающий такое обозначение.

2.4.3. Разложение в формальный ряд.

Перепишем дифференциальное уравнение (2.7) как интегральное:

(затем подставим это выражение для в правую часть)

Многократно повторим эту процедуру, и получим разложение:

Здесь

обозначает n-мерный симплекс. Чисто формально переходя в (2.11) к пределу получаем формальный ряд для решения задачи (2.7)

а потому и для решения задачи (2.9)

Упражнение 2.1. Предыдущее разложение в ряд получено при условии хотя хронологическая экспонента определена при всех значениях Покажите, что поток при имеет разложение

Этот ряд аналогичен ряду (2.12), поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением случая

2.4.4. Оценки и сходимость ряда.

К сожалению, полученные ряды никогда не сходятся на в слабом смысле (при :

всегда существует гладкая функция на на которой они расходятся. Но можно показать, что ряд (2.12) является асимптотическим для хронологической экспоненты Справедлива следующая оценка остаточного члена: обозначим частичную сумму ряда (2.12) через

тогда для любых

где некоторый компакт, содержащий К. Мы докажем оценку (2.13) в приложении. Из оценки (2.13) следует, что

где обозначает частичную сумму ряда (2.12) для поля Поэтому получаем следующее разложение в асимптотический ряд:

Мы будем использовать члены этого ряда порядков нуль, один и два:

Докажем, что асимптотический ряд сходится к хронологической экспоненте на любом нормированном подпространстве на котором определено и ограничено:

Применим операторный ряд (2.14) к любой функции и оценим члены полученного ряда:

Имеем

(используем симметрию относительно перестановок индексов

(переходим к интегралу по кубу)

Итак, ряд (2.16) мажорируется экспоненциальным рядом, поэтому операторный ряд (2.14) сходится на

Ряд (2.16) можно почленно дифференцировать, поэтому он удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и функция

Следовательно,

Итак, в случае (2.15) асимптотический ряд сходится, более того, справедлива оценка

Можно показать, что оценка и сходимость имеют место не только для локально ограниченных, но и для интегрируемых на векторных полей:

Заметим, что условия (2.15) выполняются на любом конечномерном -инвариантном подпространстве В частности, это

имеет место, когда есть пространство линейных векторных полей, линейное поле на

Если вещественно аналитические, то ряд (2.16) сходится при достаточно малых доказательство этого см. в [20].

2.4.5. Левая хронологическая экспонента.

Рассмотрим обратный оператор к правой хронологической экспоненте Найдем для дифференцируя тождество

По правилу Лейбница получаем

поэтому, учитывая уравнение (2.9) для потока имеем

Умножая это равенство слева на получаем

То есть поток есть решение задачи Коши

двойственной к задаче Коши (2.9) для правой хронологической экспоненты Поток называется левой хронологической экспонентой и обозначается

Найдем асимптотический ряд для левой хронологической экспоненты так же, как для правой, многократной подстановкой в правую часть:

Для левой хронологической экспоненты справедлива оценка остаточного члена, аналогичная оценке (2.13) для правой экспоненты, и полученный ряд является асимптотическим:

Замечания. (1) Обратная стрелка в левой хронологической экспоненте соответствует обратному порядку операторов

(2) Правая и левая хронологические экспоненты удовлетворяют уравнениям

Направление стрелок согласуется с направлением появления операторов в правой части этих уравнений.

(3) Если начальное значение задается в момент времени то нижний предел интегралов в хронологических экспонентах полагается равным

(4) Справедливо очевидное правило композиции потоков

Упражнение 2.2. Докажите, что

2.4.6. Единственность для функциональных и операторных уравнений.

Мы видели, что дифференциальное уравнение (2.7) для липшицевых семейств функционалов имеет решение

Теперь мы можем доказать, что это уравнение других решений не имеет.

Предложение 2.5. Пусть полное неавтономное векторное поле на Тогда задача Коши (2.7) имеет единственное решение в классе липшицевых семейств функционалов на

Доказательство. Пусть липшицево семейство функционалов есть решение задачи (2.7). Тогда

поэтому Но следовательно, значит,

есть единственное решение задачи Коши (2.7).

Аналогично, оба операторных уравнения

не имеют других решений кроме хронологических экспонент.

2.4.7. Автономные векторные поля.

В случае автономного векторного поля

поток полного поля называется экспонентой и обозначается через (иногда мы будем писать Асимптотический ряд для экспоненты принимает форму

т. е. это обычный экспоненциальный ряд.

Экспонента автономного векторного поля удовлетворяет дифференциальным уравнениям

Используем асимптотический ряд для экспоненты для вычисления скобки Ли автономных векторных полей Вычислим первый непостоянный член в асимптотическом разложении следующей кривой в точке

Итак, скобка Ли векторных полей как операторов (производных по направлению) в имеет вид

Отсюда следует формула в локальных координатах: если

то

Аналогично,