6.2. Уравнения Эйлера

Выведем уравнения движения твердого тела из принципа наименьшего действия.

Пусть распределение массы твердого тела имеет плотность где неотрицательная интегрируемая функция с компактным носителем. Пусть есть положение, угловая скорость тела, так что

Выберем произвольную точку тела Положение этой точки в пространстве есть а ее скорость равна Распределение кинетической энергии в теле имеет плотность - поэтому полная кинетическая энергия тела в момент времени равна

это квадратичная форма на пространстве Соответствующую билинейную форму можно записать в виде

для некоторого линейного симметрического оператора

который называется тензором инерции твердого тела. Наконец, функционал действия имеет вид

где и начальный и конечный моменты движения.

Пусть начальное и конечное положения движущегося тела. Согласно принципу наименьшего действия движение тела должно быть экстремалью следующей задачи:

Найдем эти экстремали.

Пусть есть угловая скорость вдоль выбранной траектории тогда

Рассмотрим произвольное малое возмущение угловой скорости

Для того чтобы такое возмущение было допустимым, начало и конец соответствующей траектории не должны зависеть от

поэтому

По формуле (2.31) производной потока по параметру выражение в правой части (6.7) равно

Поэтому равенство (6.7) можно записать в виде

Обозначим

Тогда условие допустимости вариации принимает вид

Найдем экстремали задачи (6.6):

(в силу (6.3))

(интегрируем по частям с условием допустимости

Вышеприведенный интеграл равен нулю на любом допустимом операторе следовательно,

Отсюда

поэтому

Введем оператор

который называется кинетическим моментом тела, и обозначим

Комбинируя равенства (6.10) и (6.5), получаем уравнения Эйлера вращения свободного твердого тела

Замечание. Описанный способ вывода уравнений Эйлера можно применить к кривым на группе ортогональных унимодулярных матриц порядка для любого Таким образом получаются уравнения вращения обобщенного n-мерного твердого тела.

Теперь перепишем уравнения Эйлера, используя изоморфизм (6.2) пространств существенно трехмерный и не обобщающийся на высшие размерности. Напомним, что кососимметрической матрице

соответствует вектор вида

В этих терминах уравнения Эйлера принимают вид

где операторы, соответствующие отображению в силу изоморфизма

Собственные векторы симметрического положительно определенного оператора называются главными осями инерции твердого тела. Мы предполагаем в дальнейшем, что твердое тело асимметрично, т. е. оператор имеет три разных собственных значения Упорядочим собственные значения

и выберем ортонормированный базис из соответствующих собственных векторов, т.е. главных осей инерции. В базисе оператор становится диагональным:

а уравнение приобретает вид