10.5. Релаксации

Рассмотрим управляемую систему (10.1) с компактным множеством управляющих параметров Существует стандартная процедура релаксации управляемой системы (10.1), расширяющая множество скоростей этой системы до его выпуклой оболочки

Напомним, что выпуклая оболочка подмножества линейного пространства — это наименьшее выпуклое множество, содержащее Конструктивное описание выпуклой оболочки дается в следующем классическом утверждении: любая точка выпуклой оболочки множества в n-мерном линейном пространстве есть выпуклая комбинация некоторого набора из точек в

Лемма 10.1 (Каратеодори). Для любого подмножества его выпуклая оболочка может быть представлена в виде

Доказательство этой леммы приведено, например, в [145].

Релаксация (ослабление) управляемой системы (10.1) строится следующим образом. Пусть есть размерность пространства состояний. Множество управляющих параметров новой системы имеет вид

где

есть стандартный n-мерный симплекс. То есть новый управляющий параметр имеет вид

Если компактно, то также компактно. Ослабленная система имеет вид

По лемме Каратеодори множество скоростей системы (10.16) выпукло, более того,

Если все векторные поля в правой части (10.16) имеют общий компактный носитель, из теоремы Филиппова следует компактность множеств достижимости ослабленной системы. По теореме 8.2 любую траекторию ослабленной системы (10.16) можно равномерно приблизить семействами траекторий исходной системы (10.1). Поэтому множества достижимости ослабленной системы совпадают с замыканиями множеств достижимости исходной системы.