18.3. Гамильтоновы системы на группах Ли

18.3.1. Тривиализация кокасательного расслоения группы Ли.

Пусть подгруппа Ли. Обозначим через соответствующую подалгебру Ли:

Кокасательное расслоение группы Ли имеет тривиализацию вида

где есть сопряженное пространство алгебры Ли Сначала опишем сопряженное отображение

Напомним, что для любого Положим

То есть значение левоинвариантного векторного поля в точке отображается в пару, состоящую из значения этого поля в единице и точки Сама же тривиализация имеет вид

где левоинвариантная -форма на в единице совпадающая с

18.3.2. Гамильтонова система на ...

Гамильтонова система, соответствующая функции Гамильтона

была вычислена в параграфе 18.1 (см. (18.7)):

Учитывая определение (18.11) отображения первое уравнение можно переписать в следующем виде:

Здесь вертикальная часть формы т.е.

Чтобы найти вычислим действие дифференциала на левоинвариантных векторных полях по формуле (11.15):

Тогда

Поэтому гамильтонова система (18.13) принимает следующую форму:

Напомним, что есть горизонтальная часть формы поэтому

и

Система (18.14) описывает гамильтонову систему для произвольной группы Ли и любой функции Гамильтона

В случае коммутативных групп Ли (возникающем в тривиализации порожденной локальными координатами на первое слагаемое во втором уравнении (18.14) исчезает, и мы получаем обычную форму гамильтоновой системы в канонических координатах

В случае левоинвариантного гамильтониана:

гамильтонова система (18.14) становится треугольной:

Здесь второе уравнение не содержит Поэтому в левоинвариантных задачах управления, где гамильтониан принципа максимума

левоинвариантен, можно сначала независимо решать уравнение для вертикальных координат а затем переходить к горизонтальному уравнению для

18.3.3. Компактные группы Ли.

Гамильтонова система (18.15) упрощается еще более в случае компактных групп Ли.

Пусть есть компактная подгруппа Ли группы Тогда можно рассматривать как подгруппу Ли ортогональной группы Действительно, можно выбрать евклидову структуру на инвариантную относительно всех преобразований из М:

Такую структуру можно получить из любой евклидовой структуры на усреднением по с помощью формы объема где суть базисные левоинвариантные формы на М:

Поэтому будем предполагать, что все элементы суть ортогональные -матрицы, а касательное пространство к в единице состоит из кососимметрических матриц:

На имеется инвариантное скалярное произведение, которое определяется следующим образом:

Инвариантность этого произведения означает, что

т. е. оператор

ортогонален относительно этого произведения. Равенство (18.16) есть следствие инвариантности следа:

Знак минус в определении инвариантного скалярного произведения на обеспечивает положительную определенность произведения. Это легко видеть в координатах: если

то

Норма на определяется естественным образом:

Инфинитезимальная версия свойства инвариантности (18.16) легко получается дифференцированием при

То есть все операторы

кососимметричны относительно инвариантного скалярного произведения. Равенство (18.17) есть многомерное обобщение свойства векторного и скалярного произведения

Так как то инвариантное скалярное произведение определено и на алгебре Ли Тогда сопряженное пространство можно отождествить с алгеброй Ли с помощью скалярного произведения

В терминах этого отождествления оператор принимает вид

В случае компактной группы Ли гамильтонова система (18.15) для инвариантного гамильтониана определена на и записывается как

Мы применим эту формулу в следующей главе для решения нескольких геометрических задач оптимального управления.