Главная > Геометрическая теория управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11.2. Дифференциальные k-формы

Дифференциальная -форма на это объект, который должен интегрироваться по k-мерным поверхностям в Инфинитезимально k-мерная поверхность представляется своим касательным пространством, т. е. некоторым k-мерным подпространством в Таким образом, нам нужен объект, двойственный ко множеству k-мерных подпространств линейного пространства. Зафиксируем линейное пространство Любое k-мерное подпространство определяется своим базисом Двойственные объекты должны задаваться отображениями

такими, что зависит только от линейной оболочки векторов и ориентированного объема -мерного параллелепипеда, порожденного векторами Более того, эта зависимость должна быть линейной. Напомним, что отношение объемов параллелепипедов, порожденных векторами

и векторами равно и что определитель матрицы порядка к есть полилинейная кососимметрическая форма от столбцов матрицы. Поэтому следующее определение двойственных объектов вполне естественно.

11.2.1. Внешние k-формы.

Пусть конечномерное вещественное линейное пространство, и пусть к Внешней к-формой на называется отображение

являющееся полилинейным:

и кососимметрическим:

Множество всех внешних -форм на обозначается через В силу кососимметричности любая внешняя форма степени равна нулю, т. е. при

Внешние формы можно умножать на вещественные числа, а внешние формы одной степени к можно складывать между собой, поэтому все суть линейные пространства. Мы сможем построить базис после того как рассмотрим еще одну операцию между внешними формами — внешнее произведение. Внешнее произведение двух форм есть внешняя форма степени

Для линейных -форм имеется естественное (тензорное) произведение

в результате которого получается билинейная, но не кососимметричная форма. Внешнее произведение есть антисимметризация тензорного:

Аналогично, тензорное и внешнее произведения форм это следующие формы степени

где сумма берется по всем перестановкам порядка четность перестановки Множитель вводится для нормировки суммы в (11.1), так как она содержит одинаковых слагаемых: например, если перестановка не перемешивает первые и последние аргумента, то все члены вида

равны

Этот множитель обеспечивает ассоциативность внешнего произведения:

Более того, внешнее произведение косокоммутативно:

Пусть базис пространства а соответствующий двойственный базис Если 1 к то следующие С элементов образуют базис пространства

Из равенств

при следует, что любая -форма единственным образом представляется в виде

где

Упражнение 11.1. Покажите, что для любых -форм и любых векторов выполняется равенство

Заметим, что пространство n-форм на n-мерном пространстве одномерно. Любая ненулевая n-форма на является формой объема. Например, значение стандартной формы объема на наборе из векторов равно

это ориентированный объем параллелепипеда, порожденного векторами

11.2.2. Дифференциальные k-формы.

Дифференциальная k-форма на есть отображение

гладкое Множество всех дифференциальных -форм на обозначается через Естественно гладкие функции на считать -формами, поэтому

В локальных координатах на области любая дифференциальная -форма единственным образом представляется в виде

Любое гладкое отображение

порождает перенос дифференциальных форм

следующим образом: для любой дифференциальной -формы -форма определяется как

Для -форм перенос есть просто замена переменных:

Отображение линейно относительно форм и сохраняет внешнее произведение:

Упражнение 11.2. Докажите правило композиции для переноса дифференциальных форм

где гладкие отображения.

Отметим, что в операторных обозначениях (когда точки пишутся слева от отображений как крышка не изменяет порядка отображений в композиции, в отличие от классического обозначения

Теперь мы можем определить интеграл -формы по ориентированной k-мерной поверхности. Пусть есть k-мерная открытая ориентированная область и

есть диффеоморфизм. Тогда интеграл -формы по k-мерной ориентированной поверхности определяется следующим образом:

остается только определить интеграл по в правой части. Так как есть -форма на она выражается через стандартную форму объема

Мы определим

как обычный кратный интеграл.

Интеграл определен корректно относительно сохраняющих ориентацию перепараметризаций поверхности При изменении ориентации интеграл меняет знак.

Понятие интеграла распространяется на произвольные подмногообразия следующим образом. Пусть есть k-мерное подмногообразие, и пусть Рассмотрим покрытие координатными окрестностями :

Возьмем разбиение единицы, подчиненное этому покрытию:

Тогда

Определенный таким образом интеграл не зависит от выбора разбиения единицы.

Замечание. Другой возможный подход к определению интеграла дифференциальной формы по подмногообразию основан на триангуляции подмногообразия.

1
Оглавление
email@scask.ru