17.2. Уравнение Гамильтона-Якоби

Будем предполагать, что условия теоремы 17.1 выполняются. Как было показано при доказательстве этой теоремы, форма точна, поэтому она равна дифференциалу некоторой функции:

В силу взаимной однозначности проекции можно отождествить и определить как функцию на

Чтобы выяснить смысл функции в нашей задаче оптимального управления, рассмотрим экстремаль

и кривую

так же, как в теореме 17.1. Тогда

где экстремальная траектория, управление, максимизирующее гамильтониан вдоль Равенства (17.10) и (17.11) означают, что

т. е. есть оптимальное качество движения между точками за время Начальное значение для можно выбрать в

Действительно, при определение (17.11) функции записывается как

что совместимо с (17.12).

Уравнение (17.10) можно переписать как уравнение в частных производных для В локальных координатах на получаем

Тогда уравнение (17.10) записывается как

т. е.

Эту систему можно объединить в одно нелинейное уравнение в частных производных первого порядка:

которое называется уравнением Гамильтона-Якоби. Итак, оптимальное качество удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (17.13) с начальным условием (17.12).

Характеристическая система для уравнения в частных производных (17.13) имеет вид

Первые два уравнения образуют гамильтонову систему для нормальных экстремалей. То есть решение задачи оптимального управления (17.1)-(17.3) приводит к методу характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби для оптимального качества.