Глава 23. КРИВИЗНА

23.1. Кривизна двумерных систем

Рассмотрим управляемую систему вида

где

Мы предполагаем, что правая часть гладко зависит от Хорошо известный пример такой системы дает двумерная риманова задача: локально эта задача задает управляемую систему

где локальный ортонормированный репер римановой структуры. Мы получим инвариантное относительно обратной связи уравнение Якоби для управляемой системы (23.1), а также построим главный инвариант этой системы относительно преобразований обратной связи — кривизну (в римановом случае этот инвариант совпадает с гауссовой кривизной). Мы докажем теорему сравнения для сопряженных точек, аналогичную теоремам сравнения в римановой геометрии.

Будем предполагать, что кривая допустимых скоростей управляемой системы (23.1) удовлетворяет следующим условиям регулярности:

Условие (23.2) означает, что кривая сильно выпукла; из него следует усиленное условие Лежандра для экстремалей системы (23.1).

Введем линейный на слоях кокасательного расслоения зависящий от управления гамильтониан

и максимизированный гамильтониан

Будем предполагать, что определен в рассматриваемой области в Более того, мы предполагаем, что для любого А в этой области максимум в (23.3) достигается для единственного и это означает, что любая опорная прямая касается кривой допустимых скоростей в единственной точке. Тогда из условия выпуклости (23.2) следует, что

является гладким в данной области. Более того, однороден порядка один на слоях, поэтому можно ограничиться изучением поверхности уровня

Обозначим пересечение со слоем через

из условия (23.2) следует, что кривая сильно выпукла.

23.1.1. Подвижный репер.

Построим инвариантный относительно преобразований обратной связи подвижный репер на -мерном многообразии И для того, чтобы записать уравнение Якоби в этом репере. Отметим, что максимизированный гамильтониан инвариантен по обратной связи, так как он зависит от всей кривой допустимых скоростей но не от ее параметризации управлением и. Поэтому поверхность уровня и слой также инвариантны по обратной связи.

Начнем строить репер с вертикального поля, касающегося кривой Введем в слое полярные координаты:

Тогда параметризуется углом

Из формулы Эйлера для однородных функций получаем

Разложим вторую производную в репере

Кривая сильно выпукла, а гамильтониан однороден на слое, поэтому

При замене параметра получаем

поэтому существует единственный (с точностью до трансляций и ориентации) параметр в на кривой для которого

Зафиксируем такой параметр в и определим соответствующее вертикальное векторное поле на

В инвариантных терминах единственное (с точностью до умножения на ±1) вертикальное поле на для которого

где тавтологическая форма на суженная на Определим подвижный репер на следующим образом:

Заметим, что эти векторные поля линейно независимы, так как вертикально, а другие два поля имеют линейно независимые горизонтальные составляющие:

Здесь мы обозначаем через максимизирующее управление на

Дифференцируя тождество

по получаем

Для того чтобы записать уравнение Якоби вдоль экстремали нам потребуются скобки Ли гамильтонова поля с векторными полями репера:

Вычислим недостающую вторую скобку. Теорема 23.1. Имеет место равенство

Функция называется кривизной двумерной управляемой системы (23.1). Гамильтоново поле инвариантно по обратной связи, а поле инвариантно по обратной связи с точностью до умножения на Поэтому кривизна к есть инвариант системы (23.1) относительно преобразований обратной связи. Докажем теорему 23.1.

Доказательство. Параметр в задает отождествление

поэтому касательное пространство к может быть разложено в прямую сумму горизонтального и вертикального подпространств.

По двойственности, любая дифференциальная форма на имеет горизонтальную и вертикальную части. Заметим, что тривиализация (23.7) неинвариантна по обратной связи, так как выбор сечения произволен, поэтому форма и горизонтальность подпространства неинвариантны по обратной связи.

Для краткости обозначим в этом доказательстве через

горизонтальную форму на Обозначим производную Ли:

и рассмотрим следующий корепер на

Легко видеть, что эти формы линейно независимы: вертикальна, а горизонтальные формы линейно независимы в силу (23.4). Теперь построим репер на двойственный реперу (23.8).

Разложим на горизонтальную и вертикальную части:

Докажем, что поля

составляют репер, двойственный кореперу (23.8). Нужно показать лишь, что пара горизонтальных полей двойственна паре горизонтальных форм Во-первых,

Далее,

Следовательно,

т. е.

Наконец,

Равенство (23.5) можно переписать как поэтому

Итак, мы доказали, что репер

двойственен кореперу

Для завершения доказательства данной теоремы вычислим скобку с помощью этих реперов.

Сначала рассмотрим стандартную симплектическую форму

где дифференциал формы по горизонтальным координатам. Горизонтальная -форма имеет разложение

поэтому

Так как

получаем

т. е. поэтому

Теперь вычислим требующуюся скобку Ли:

следовательно,

Осталось убедиться, что горизонтальная часть скобки , — обращается в нуль.

Из равенства следует, что в силу двойственности реперов

Далее,

и скобку можно вычислить, используя двойственность реперов и предложение 18.1:

Итак, горизонтальная часть поля равна

Мы доказали, что

где кривизна вычисляется по формуле

Замечание. Напомним, что вертикальное векторное поле удовлетворяющее (23.5), единственно с точностью до множителя С другой стороны, вертикальное поле удовлетворяющее (23.6), единственно с точностью до множителя, постоянного вдоль траекторий (и потому не влияющего на к). Следовательно, для вычисления кривизны к можно использовать любое векторное поле для которого выполняется равенство вида (23.6).

Итак, теперь нам известны все скобки гамильтонова векторного поля с векторными полями репера :