21.4. Регулярный случай: преобразование уравнения Якоби

Пусть регулярная экстремаль. Предположим, что максимизированный гамильтониан гладок в окрестности Из условия максимума ПМП получаем уравнение

которое можно разрешить в окрестности

Отображение А гладко вблизи и удовлетворяет равенству

Максимизированный гамильтониан ПМП выражается в окрестности как

(см. предложение 12.1). Рассмотрим поток на

По формуле вариаций в гамильтоновой форме (см. (2.27) и (11.22)), этот поток гамильтонов:

с функцией Гамильтона

Заметим, что

т.е. особая точка поля Иными словами, критическая точка гамильтониана:

Естественно предположить, что соответствующий гессиан связан с оптимальностью экстремали

Следующее предложение устанавливает связь между двумя га-ми льтоновыми системами: уравнением Якоби на и гамильтоновой системой с максимизированным гамильтонианом на Мы воспользуемся этим соотношением при доказательстве достаточных условий оптимальности в параграфе 21.5.

Предложение 21.3. Гамильтониан уравнения Якоби равен половине гессиана функции Гамильтона в точке

Доказательство. Напомним, что гамильтониан уравнения Якоби в регулярном случае равен

Преобразуем линейную форму:

(где )

(где - дифференциал диффеоморфизма )

Тогда гамильтониан можно переписать как

Вычислим гессиан функции Гамильтона

Легко видеть, что

Далее,

Дифференциал можно найти дифференцированием тождества

в точке Действительно, получаем

поэтому

Следовательно,

т. е.

и предложение доказано.

В силу того, что гамильтониан достигает минимума в точке квадратичная форма неотрицательна:

Обозначим через пространство постоянных вертикальных решений уравнения Якоби на отрезке

Мы можем дать следующее простое описание этого пространства:

Действительно, особые точки гамильтонова векторного поля суть критические точки гамильтониана, а критические точки невырожденной квадратичной формы суть элементы ее ядра.