21.2. Особый случай: вывод уравнения Якоби

В этом параграфе мы выведем уравнение Якоби для хорошей особой экстремальной пары

В отличие от регулярного случая, в особом случае вторая вариация может быть невырожденной в момент когда она перестает быть отрицательной. Для того чтобы построить теорию сопряженных точек для особого случая, мы произведем замену переменных в форме Обозначим, как и раньше, интегралы

и обозначим билинейную форму, входящую в обобщенное неравенство Лежандра,

Для хорошей особой экстремали выражение для второй вариации (20.25) записывается как

Условие допустимости (20.26) для вариаций управления можно записать следующим образом:

Отображение

имеет всюду плотный образ в и гессиан вместе с условием допустимости (21.15) продолжаются на по непрерывности.

Обозначим >

и рассмотрим продолженную форму

на пространстве

Тогда так же, как в регулярном случае, получаем, что ограничение квадратичной формы на пространство (21.16) вырождено в момент Момент удовлетворяющий этому свойству, называется сопряженным временем для хорошей особой экстремали

Аналогично регулярному случаю сейчас мы выведем гамильтоново уравнение Якоби для определения сопряженного времени на хороших особых экстремалях, хотя функция Гамильтона и граничные условия сейчас будут отличными от полученных для регулярного случая.

Пусть сопряженное время, т. е. пусть форма имеет нетривиальное ядро на пространстве (21.16). Тогда существует такая пара

что линейная форма на пространстве

аннулирует допустимое пространство (21.16). В свою очередь анну-лятор допустимого пространства (21.16) есть пространство линейных

Поэтому, подобно регулярному случаю, существует такое , что

В силу представления (21.17), предыдущее равенство форм расщепляется:

То есть

Используя кривую в пространстве

можно переписать равенства (21.18), (21.19) в форме

Последнее равенство означает, что 770 принадлежит косоортогональному дополнению С другой стороны, , сравните определение (21.20) с (21.16). То есть

Напомним, что есть лагранжево подпространство в симплектическом пространстве содержащее изотропное подпространство см. определение (11.28). Заметим, что условие Гоха

означает, что подпространства

изотропны. Получаем граничные условия для кривой

Более того, равенство (21.21) дает дифференциальное уравнение для

Аналогично регулярному случаю получаем, что это уравнение гамильтоново с гамильтонианом

Линейное неавтономное уравнение (21.23) называется уравнением Якоби для вполне особого случая.

Следующее предложение доказывается так же, как теорема 21.1 для регулярного случая.

Теорема 21.2. Пусть хорошая особая экстремаль. Момент является сопряженным временем тогда и только тогда, когда существует непостоянное решение уравнения Якоби

с граничными условиями

Уравнение Якоби (21.24) гамильтоново:

с неавтономной квадратичной функцией Гамильтона

В следующем утверждении приведен первый интеграл уравнения (21.23), он может быть полезен при изучении уравнения Якоби в особом случае.

Лемма 21.1. Для любого постоянного вектора функция есть первый интеграл уравнения Якоби (21.23).

Доказательство. Требуется показать, что

для решения уравнения (21.23). Первое слагаемое вычисляется с помощью уравнения Якоби:

(где - билинейная форма)

(где - линейное отображение в сопряженное пространство)

и равенство (21.27) доказано.

В частности, эта лемма означает, что

т.е. поток уравнения Якоби сохраняет семейство пространств Так как это уравнение гамильтоново, его поток сохраняет также и семейство Следовательно, граничные условия (21.22) можно переписать в другой форме: