16.2. Существование оптимального управления

Из-за того, что множество управляющих параметров некомпактно, теорема Филиппова неприменима, поэтому существование оптимальных управлений в линейно-квадратичной задаче — нетривиальная задача.

В этой главе в качестве допустимых управлений будем брать интегрируемые с квадратом вектор-функции

и использовать для управлений норму пространства

Рассмотрим множество всех допустимых управлений, переводящих начальную точку в конечную

Мы обозначаем через траекторию системы (16.1), соответствующую допустимому управлению и и выходящую из точки В силу формулы Коши отображение в конец

есть аффинное отображение из Управляемость линейной системы (16.1) означает, что для любых образ отображения в конец совпадает со всем Подпространство

аффинно, а подпространство

линейно; более того,

Естественно ожидать, что существование оптимальных управлений тесно связано с поведением функционала качества на линейном подпространстве

Предложение 16.1. (1) Если существуют такие точки что

то

(2) Обратно, если

то минимум достигается:

Замечание. Предыдущее предложение означает, что неравенство

необходимо для существования оптимальных управлений хотя бы для одной пары а строгое неравенство

достаточно для существования оптимальных управлений для всех пар .

Для доказательства предложения 16.1 нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 16.1. Если для всех то

или, что то же самое,

Доказательство. Пусть минимизирующая последовательность функционала на пространстве Замкнутые шары в гильбертовом пространстве слабо компактны, поэтому существует подпоследовательность, слабо сходящаяся в единичном шаре. Сохраняя обозначение для членов этой последовательности, получаем

Функционал на последовательности равен

Так как управления сходятся слабо, соответствующие траектории сходятся сильно:

поэтому

В силу (16.4) исследуемая нижняя грань равна

Докажем предложение 16.1.

Доказательство. (1) От противного: предположим, что существует такое что Возьмем любое и тогда и для любого

Пусть есть решение задачи Коши

и пусть

Тогда квадратичный функционал на семействе управлений и имеет следующий вид:

Так как то при Полученное противоречие с условием (16.3) завершает доказательство пункта (1). (2) Напомним, что функционал качества равен

Норма полунепрерывна снизу в слабой топологии на а функционал слабо непрерывен на Поэтому слабо полунепрерывен снизу на Так как шары слабо компактны в и аффинное подпространство слабо компактно, достаточно показать, что при

Зафиксируем произвольное управление и Тогда любое управление из имеет вид и для некоторого Преобразуем функционал:

Обозначим Далее,

для всех Наконец, по лемме для всех Следовательно,

Пункт (2) данного предложения доказан.

Итак, вопрос существования оптимальных управлений в линейно-квадратичной задаче сведен к исследованию ограничения Мы изучим это ограничение подробнее в параграфе 16.4.