Глава 21. УРАВНЕНИЕ ЯКОБИ

В гл. 20 установлено, что знак квадратичной формы связан с оптимальностью экстремального управления и. При естественных предположениях вторая вариация отрицательна на малых отрезках. Теперь мы хотим найти момент времени, когда эта квадратичная форма перестает быть отрицательной. Мы выведем дифференциальное уравнение (уравнение Якоби), которое позволяет найти такой момент (сопряженное время). Более того, мы дадим необходимые и достаточные условия оптимальности в этих терминах.

Напомним выражение (20.18) для квадратичной формы полученное в параграфе 20.3:

Продолжим форму с пространства на по непрерывности.

Мы будем рассматривать семейство задач на отрезках поэтому введем соответствующие множества допустимых управлений:

и пространства вариаций управлений:

Обозначим вторую вариацию на соответствующем отрезке через

Заметим, что семейство пространств упорядочено по включению:

а семейство форм согласовано с этим порядком:

В частности,

Обозначим момент времени, когда формы перестают быть отрицательными

где

есть замыкание пространства Если квадратичная форма отрицательна для всех , то по определению