2.2. Полунормы и ...-топология

Определим полунормы и топологию в пространстве По теореме Уитни гладкое многообразие является собственным подмногообразием евклидова пространства для достаточно большого Обозначим через гладкое векторное поле на являющееся ортогональной проекцией из на постоянного векторного поля Получаем векторных полей порождающих касательное пространство в любой точке

Определим семейство полунорм на пространстве следующим образом:

Это семейство полунорм определяет топологию на База этой топологии задается подмножествами

где есть вложенная система компактов, покрывающая М:

Эта топология на не зависит от вложения Она называется топологией равномерной сходимости со всеми производными на компактах или просто -топологией. В этой

топологии пространство Фреше (полное метрпзуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство).

Последовательность функций сходится к функции при к тогда и только тогда, когда

Для векторных полей определим полунормы вида

Можно доказать, что любое векторное поле имеет конечные полунормы и что справедлива оценка действия диффеоморфизма на функцию

Поэтому векторные поля и диффеоморфизмы — линейные непрерывные операторы на топологическом векторном пространстве