13.2. Управление линейным осциллятором

Рассмотрим линейный осциллятор, движением которого можно управлять с помощью ограниченной по величине силы. Соответствующая управляемая система (после выбора подходящих единиц измерения) есть

или, в канонической форме,

Рассмотрим для этой системы задачу быстродействия

По теореме Филиппова, оптимальные управления существуют. Как и в предыдущей задаче, применим принцип максимума: функция Гамильтона есть

а гамильтонова система записывается как

Из условия максимума ПМП получаем

поэтому оптимальные управления удовлетворяют условию

Для переменной имеем уравнение

следовательно,

Заметим, что Действительно, если то поэтому что противоречит принципу максимума. Следовательно,

Из этого равенства получаем полное описание возможной структуры оптимального управления. Интервал между последовательными моментами переключения управления имеет длину Пусть первая точка переключения Тогда

То есть параметризовано двумя числами: первым моментом переключения и начальным знаком

Оптимальное управление принимает только экстремальные значения Поэтому оптимальные траектории состоят из кусков, удовлетворяющих системе

т. е. из дуг окружностей

проходимых по часовой стрелке.

Опишем все оптимальные траектории, приходящие в начало координат. Пусть 7 — любая такая траектория. Если 7 не имеет переключений, то это — дуга, содержащаяся в одной из полуокружностей

и проходящая через нуль. Если есть переключения, то последнее переключение может произойти в любой точке этих полуокружностей, кроме нуля. Предположим, что 7 имеет последнее переключение на полуокружности (13.13). Тогда часть между последним и предпоследним переключениями есть половина окружности проходящая через последнюю точку переключения. Предпоследнее переключение происходит на кривой, получающейся вращением полуокружности (13.13) вокруг точки в плоскости на угол т. е. на полуокружности

Для получения геометрического места точек предыдущего переключения 7 необходимо повернуть полуокружность (13.15) вокруг точки (1,0) на угол ; получаем полуокружность

Предыдущее переключение происходит на полуокружности

Случай, когда последнее переключение происходит на полуокружности (13.14), получается из только что рассмотренного случая центральной симметрией плоскости относительно нуля: Последовательные переключения (в обратном порядке, начиная с конца) происходят на полуокружностях

и т.д. Мы получили кривую переключения в плоскости

Эта кривая переключения делит плоскость на две части. Любая экстремальная траектория в верхней части плоскости является решением уравнения (13.12) с —1 во втором уравнении,

Рис. 13.2. Оптимальный синтез в задаче

а в нижней части — решением уравнения (13.12) с +1. Для любой точки плоскости существует в точности одна кривая этого семейства, приходящая в начало координат (она имеет форму «спирали» с конечным числом переключений). Так как оптимальные траектории существуют, построенные экстремальные траектории оптимальны.

Задача быстродействия решена: в части плоскости (жьжг) выше кривой переключения (13.16) оптимальное управление есть а ниже этой кривой Через любую точку плоскости проходит единственная оптимальная траектория, соответствующая этому правилу оптимального управления. После конечного числа переключений любая оптимальная траектория попадает в начало координат. Общий вид оптимального синтеза изображен на рис. 13.2.

Теперь мы рассмотрим задачи оптимального управления с той же динамикой, что и в предыдущих двух параграфах, но с другим функционалом.