20.5. Приложения

В этом параграфе мы применим полученные условия оптимальности второго порядка к конкретным задачам.

20.5.1. Анормальные субримановы геодезические.

Рассмотрим субриманову задачу

Исследование оптимальности эквивалентно изучению границы множества достижимости для расширенной системы

Гамильтониан равен

Параметр постоянен вдоль любой геодезической (экстремали). Если (нормальный случай), то экстремальное управление можно определить из принципа максимума. Далее будем рассматривать анормальный случай:

Тогда

В анормальном случае условие максимума ПМП непосредственно не определяет управления (анормальные экстремали вполне особые). Из этого условия следует, что анормальные экстремали удовлетворяют кроме гамильтоновой системы

следующим тождествам:

Применим условия второго порядка. Как мы уже отмечали, условие Лежандра вырождается. Условие Гоха принимает форму

Если анормальная экстремаль проецируется в оптимальную траекторию то в любой точке этой траектории существует такой ковектор

что

Следовательно, если

то через точку не проходят локально оптимальные строго анормальные траектории.

Экстремальная траектория называется строго анормальной, если она является проекцией анормальной экстремали и не является проекцией нормальной экстремали. Отметим, что в случае экстремальные траектории могут быть анормальными, но не строго анормальными (т. е. могут быть анормальными и нормальными одновременно): могут существовать два множителя Лагранжа и Малые дуги таких траекторий всегда оптимальны в силу гладкости нормального гамильтониана (см. следствие 17.1).

Распределения удовлетворяющие условию (20.35), называются -порождающими. Например, левоинвариантные распределения полного ранга, возникающие в субримановой задаче на компактной группе Ли в параграфе 19.2 и упражнении 19.1, являются -порождающими, поэтому в этих задачах нет строго анормальных траекторий.

Пример 20.1. Рассмотрим следующую левоинвариантную субриманову задачу на с естественным критерием:

Упражнение 20.6. Покажите, что нормальные экстремали в этой задаче суть произведения двух однопараметрических подгрупп. (Указание: повторите рассуждение параграфа 19.2.) Отсюда следует, что любая невырожденная матрица может быть представлена в виде произведения двух экспонент Заметим, что не любая невырожденная матрица представляется в виде одной экспоненты

В задаче (20.36), (20.37) имеется много анормальных экстремалей, но они не могут быть оптимальными. Легко видеть, что распределение, заданное правой частью этой системы, -порождающее. Действительно,

причем если матрицы симметричны, то их коммутатор кососимметричен. Более того, любая кососимметричная матрица может быть получена таким образом. Но любая -матрица есть сумма симметричной и кососимметричной матриц. Поэтому распределение -порождающее, и строго анормальные экстремальные траектории неоптимальны.