3.2. Управляемость линейных систем

Из формулы Коши (3.7) следует, что отображение

переводящее локально интегрируемое управление в конечную точку соответствующей траектории, является аффинным. Поэтому множество достижимости линейной системы (3.1) за фиксированное время есть аффинное подпространство в

Определение 3.1. Управляемая система в пространстве состояний называется вполне управляемой за время если

Полная управляемость означает, что для любой пары точек существует такое управление и, что соответствующее решение управляемой системы переводит за время

Исследование полной управляемости линейных систем облегчается благодаря следующему наблюдению. Аффинное отображение

сюръективно тогда и только тогда, когда сюръективна его линейная часть

В свою очередь сюръективность отображения (3.8) равносильна сюръективности следующего отображения:

Теорема 3.1. Линейная система (3.1) вполне управляема за время тогда и только тогда, когда

Доказательство. Необходимость. Предположим от противного, что условие (3.10) не выполняется. Тогда существует ковектор такой, что

По теореме Кэли

для некоторых вещественных чисел Поэтому

для любого и некоторых Тогда из (3.11) получаем

Поэтому

и, значит,

т. е. отображение (3.9) не сюръективно. Полученное противоречие доказывает необходимость.

Достаточность. Пусть, от противного, отображение (3.9) не сюръективно. Тогда существует ковектор такой, что

Возьмем управление

где единственная отличная от нуля компонента имеет вид

Тогда из равенства (3.12) следует, что

Поэтому

Последовательно дифференцируя это тождество при получаем

что противоречит (3.10). Достаточность доказана.

Таким образом, если линейная система вполне управляема за какое-то время то она вполне управляема и за любое другое положительное время. В этом случае линейная система называется управляемой.