5.7. Эквивалентность управляемых систем по состоянию

В этом параграфе мы рассмотрим еще одно приложение теоремы об орбите — к задаче эквивалентности управляемых систем (или семейств векторных полей).

Пусть произвольное индексное множество. Рассмотрим два семейства векторных полей на гладких многообразиях параметризованных одним и тем же множеством

Возьмем любую пару точек и предположим, что семейства имеют полный ранг:

Определение 5.5. Семейства называются локально эквивалентными по состоянию, если существует диффеоморфизм окрестностей

переводящий одно семейство в другое:

Обозначение:

Замечание. Мы рассматриваем здесь только гладкие преобразования состояния в то время как управления и не меняются. Поэтому такая эквивалентность называется эквивалентностью по состоянию. Ранее мы уже рассматривали эквивалентность по состоянию нелинейных и линейных систем как локальную, так и глобальную (см. гл. 4).

Сначала попытаемся найти необходимые условия локальной эквивалентности систем Пусть

В силу инвариантности скобки Ли имеем

т. е. соотношения между скобками Ли векторных полей эквивалентных семейств должны сохраняться. Рассмотрим все соотношения между этими скобками Ли в одной точке. Определим системы касательных векторов:

Для этих систем имеем равенство

Теперь можно сформулировать необходимое условие локальной эквивалентности семейств в терминах линейного изоморфизма

Если , то существует линейный изоморфизм

отображающий систему векторов в систему Оказывается, что в аналитическом случае это условие достаточно для локальной эквивалентности по состоянию. То есть в аналитическом случае комбинации частных производных векторных полей входящие в образуют полную систему инвариантов семейства для эквивалентности по состоянию.

Теорема 5.5. Пусть вещественно аналитические семейства векторных полей полного ранга на вещественно аналитических многообразиях соответственно. Пусть

Тогда том и только том случае, когда существует линейный изоморфизм

такой, что

Замечание. Если вдобавок односвязны и все поля полны, то имеет место глобальная эквивалентность.

Перед тем как доказывать теорему 5.5, сформулируем условие (5.14) по-другому и укажем метод его проверки. Пусть семейство имеет полный ранг:

Выберем базис:

и выразим все векторы семейства через базисные векторы:

Если существует линейный изоморфизм со свойством (5.14), то векторы должны образовывать базис пространства

а все векторы семейства должны выражаться через базисные векторы с теми же коэффициентами, что и семейство (см. (5.16)):

Легко получить обратную импликацию: если можно выбрать базисы в из семейств и 77, как в (5.15) и (5.17), чтобы имели место разложения (5.16) и (5.18) с одними и теми же коэффициентами то существует линейный изоморфизм А со свойством (5.14). Действительно, в этом случае можно определить изоморфизм на базисных векторах:

Можно получить еще одну переформулировку, введя следующую терминологию. Конфигурации называются эквивалентными, если множества соотношений между элементами этих конфигураций совпадают: Здесь мы обозначаем через множество всех наборов коэффициентов, для которых соответствующие линейные комбинации равны нулю:

Тогда теорему 5.5 можно выразить следующим образом. Принцип Нагано. Вся локальная информация о семействах аналитических векторных полей полного ранга содержится в скобках Ли.

Впрочем, заметим, что конфигурация и система соотношений вообще говоря, необозримы и не могут быть описаны просто. Поэтому обычно принцип Нагано неприменим непосредственно к описанию свойств управляемых систем, но это важный направляющий принцип.

Теперь докажем теорему 5.5.

Доказательство. Необходимость уже доказана. Докажем достаточность с помощью теоремы об орбите. Для этого построим вспомогательную систему на декартовом произведении

Для векторных полей определим их прямое произведение как дифференцирование

где семейства функций определяются следующим образом:

Поэтому проекция поля на равна а проекция на равна Наконец, определим прямое произведение систем как

Предположим, что существует линейный изоморфизм отображающий конфигурацию в как в (5.14), и построим локальную эквивалентность

В силу определения (5.19) скобка Ли в семействе вычисляется следующим образом:

поэтому

Следовательно,

где По аналитической версии теоремы об орбите (следствие 5.3) для семейства орбита О системы проходящая через точку есть n-мерное погруженное подмногообразие (поэтому локально подмногообразие) в Касательное пространство к орбите имеет вид

т. е. это график линейного изоморфизма А. Рассмотрим канонические проекции на сомножители:

Ограничения суть локальные диффеоморфизмы, так как дифференциалы

взаимно однозначны.

Тогда — локальный диффеоморфизм из с графиком О и

Следовательно,