15.4. Единственность оптимальных управлений и экстремалей
Теорема 15.2. Пусть конечная точка 
достижима из начальной точки 
Тогда линейная задача быстродействия 
имеет единственное решение.
Доказательство. Как мы уже отметили, существование оптимального управления следует из теоремы Филиппова.
Предположим, что существует два оптимальных управления: 
По формуле Коши
получаем
поэтому
Пусть 
есть присоединенный вектор, соответствующий по принципу максимума управлению 
Тогда равенство (15.8) можно переписать в виде
По условию максимума ПМП
поэтому
Но это неравенство вместе с равенством (15.9) означает, что почти всюду на 
По следствию 15.1
почти всюду на 
Итак, в линейной задаче быстродействия оптимальное управление единственно. Обычно, чтобы найти оптимальное управление для заданной пары граничных точек 
ищут все экстремали 
переводящие 
а затем из них выбирают наилучшую. В примерах, рассмотренных в параграфах 13.1, 13.2, существовала единственная экстремаль для любой пары 
при 
Докажем, что это — общее свойство линейных задач быстродействия.
Теорема 15.3. Пусть 
Тогда существует единственное управление 
переводящее 
в 
и удовлетворяющее принципу максимума.
Доказательство. Предположим, что существуют два управления:
переводящие 
в 
и удовлетворяющие принципу максимума.
Если 
то из доказательства предыдущей теоремы видно, что 
почти всюду, поэтому можно считать, что
Из формулы Коши получаем
поэтому
Согласно ПМП существует присоединенный вектор 
такой, что
Так как 
имеем
Равенство (15.10) можно переписать как
Принимая во внимание (15.13), получаем 
Но из условия максимума (15.12) следует, что
Поэтому неравенства (15.15) и (15.16) совместимы, только когда
следовательно, неравенство (15.15) должно обращаться в равенство. Ввиду (15.14) имеем
Но подынтегральная функция неотрицательна (см. (15.13)), поэтому она тождественно равна нулю:
Из доказательства теоремы 15.1 следует, что управление 
релейно, поэтому существует интервал 
такой, что
Следовательно,
Но 
что противоречит единственности управления, на котором достигается максимум в ПМП; см. следствие 15.1.
