20.2. Локальная открытость отображений

Отображение называется локально открытым в точке и если

для любой окрестности точки и. В противном случае, т. е. когда

для некоторой окрестности точка и называется локально геометрически оптимальной для

Точка и называется локально конечномерно оптимальной для отображения если для любого гладкого конечномерного подмногообразия точка и локально геометрически оптимальна для ограничения

20.2.1. Критические точки коранга один.

Коранг критической точки и гладкого отображения по определению равен корангу дифференциала

В дальнейшем мы будем часто рассматривать критические точки коранга один. В этом случае множитель Лагранжа

определен однозначно с точностью до ненулевого множителя, и отображение

есть просто квадратичная форма (в случае приходится рассматривать семейство квадратичных форм).

Сформулируем условия локальной открытости отображения в критической точке и коранга один в терминах квадратичной формы .

Теорема 20.1. Пусть есть непрерывное отображение, имеющее гладкие ограничения на конечномерные подмногообразия в Пусть и критическая точка коранга один, и пусть

(1) Если квадратичная форма знакопеременная то локально открыто в и.

(2) Если форма отрицательна (или положительна), то точка и локально конечномерно оптимальна для

Замечание. Квадратичная форма локально открыта в нуле тогда и только тогда, когда она знакопеременна.

Доказательство. Утверждения теоремы локальны, поэтому выберем локальные координаты в центрированные соответственно в и будем считать, что банахово пространство,

(1) Рассмотрим разложение в прямую сумму в прообразе

и соответствующее разложение в образе

Квадратичная форма знакопеременна, т. е. она принимает значения обоих знаков на Поэтому можно выбрать такие векторы

что

мы обозначаем через производные вектор-функции в локальных координатах. Действительно, пусть квадратичная форма принимает значения противоположных знаков на некоторых В силу непрерывности существует ненулевой вектор на котором Более того, легко видеть, что

Так как первый дифференциал задает изоморфизм

то существует такой вектор что

Введем следующее семейство отображений:

Заметим, что

для малых Поэтому достаточно доказать открытость Из формулы Тейлора

следует, что семейство гладко по параметру в точке При это семейство задает сюръективное линейное отображение.

По теореме о неявной функции отображения суть субмерсии, потому они локально открыты при малых Следовательно, отображение также локально открыто в точке и.

(2) Возьмем любое гладкое конечномерное подмногообразие Так же, как в (20.8), (20.9), рассмотрим разложения в прообразе

и в образе

Так как дифференциал задает изоморфизм, по теореме о неявной функции можно выбрать такие координаты в и координаты в что отображение принимает форму

Далее, можно выбрать такие координаты что

Выпишем условия данной теоремы в этих координатах. Так как получаем

Далее, условие отрицательности формы записывается как

Тогда функция

Поэтому отображение не является локально открытым в точке и.

Справедливо следующее предложение, гораздо более сильное, чем предыдущее.

Теорема 20.2 (обобщенная лемма Морса). Пусть и есть такая критическая точка коранга один гладкого отображения что квадратичная форма невырождена.

Тогда существуют локальные координаты и в которых имеет только члены первого и второго порядков:

Мы не доказываем эту теорему, так как не будем ее использовать в дальнейшем.

20.2.2. Критические точки произвольного коранга.

Необходимое условие локальной открытости пункта (1) теоремы 20.1 обобщается для критических точек произвольного коранга.

Напомним, что положительным (отрицательным) индексом квадратичной формы называется максимальная размерность положительного (отрицательного) подпространства формы

Теорема 20.3. Пусть есть непрерывное отображение, имеющее гладкие ограничения на конечномерные подмногообразия. Пусть и критическая точка коранга

Если

то отображение локально открыто в точке и.

Доказательство. Утверждение теоремы локально, поэтому можно выбрать координаты и считать, что банахово пространство,

Более того, можно считать, что пространство конечномерно; сейчас мы докажем это. Для любого существует такое подпространство

что

Будем брать на единичной сфере

Для любого существует такая окрестность что для любых (это легко следует из непрерывности формы на единичной сфере в

Выберем конечное покрытие:

Тогда ограничение на конечномерное подпространство удовлетворяет условиям данной теоремы. Поэтому можно предполагать, что конечномерно. Но тогда теорема следует из приведенных далее лемм 20.1 и 20.2.

Лемма 20.1. Пусть есть гладкое отображение, и пусть Предположим, что квадратичное отображение

имеет регулярный нуль:

Тогда отображение имеет регулярные нули сколь угодно близко к началу координат в

Доказательство. Слегка модифицируем рассуждение, использованное при доказательстве пункта (1) теоремы 20.1. Разложим прообраз первого дифференциала:

тогда ограничение

взаимно однозначно. Равенство означает, что

Тогда существует такое что

Определим семейство отображений

Первые четыре производные обращаются в нуль при поэтому получаем тейлоровское разложение

Затем рассуждаем так же, как в теореме 20.1. Семейство гладко и линейно сюръективно при По теореме о неявной функции отображения — суть субмерсии при малых поэтому они имеют регулярные нули в любой окрестности начала координат в Следовательно, отображение также имеет регулярные нули сколь угодно близко к началу координат в

Лемма 20.2. Пусть есть такое квадратичное отображение, что

Тогда отображение имеет регулярный нуль.

Доказательство. Можно предполагать, что у квадратичной формы нет ядра:

Если это не так, профакторизуем по ядру Так как условие (20.10) означает, что при Теперь докажем лемму индукцией по

В случае утверждение очевидно: знакопеременная квадратичная форма имеет регулярный нуль.

Шаг индукции: докажем утверждение леммы для произвольного в предположении, что она доказана для всех значений, меньших

(1) Предположим сначала, что Возьмем такое что Если регулярная точка то утверждение данной леммы доказано. Поэтому предположим, что критическая точка Так как имеем

Рассмотрим гессиан отображения

Второй дифференциал квадратичного отображения равен удвоенному этому отображению, поэтому

Далее, так как получаем

По предположению индукции квадратичное отображение имеет регулярный нуль. Применяя лемму 20.1 к отображению заключаем, что также имеет регулярный нуль. Утверждение данной леммы в случае (1) доказано.

(2) Теперь рассмотрим второй случай:

(2.6а) Очевидно, что есть замкнутый конус.

(2.6) Более того, можно считать, что открыт. Действительно, предположим, что существует

Тогда критическая точка и точно так же, как в случае (1), из предположения индукции для следует, что имеет регулярный нуль. По лемме локально открыто в точке Поэтому будем далее предполагать, что множество открыто. Вместе с пунктом это означает, что сюръективно.

Покажем теперь, что это свойство приводит к противоречию, что и докажет данную лемму.

Гладкое отображение

сюръективно. По теореме Сарда оно имеет регулярное значение. Пусть есть регулярное значение отображения

Далее рассуждаем следующим образом. Найдем наименьшее для которого

и применим условия оптимальности к соответствующему решению чтобы показать, что что противоречит условию леммы.

Рассмотрим следующую конечномерную задачу оптимизации со связями:

Очевидно, что эта задача имеет решение; пусть пара реализует минимум. Выпишем условия оптимальности первого и второго порядка для задачи (20.11). Существуют такие множители Лагранжа

что функция Лагранжа

удовлетворяет условиям стационарности:

Так как есть регулярная точка отображения имеем поэтому можно положить

Тогда необходимые условия оптимальности для задачи (20.11) записываются как

Напомним, что гессиан ограничения отображения отличен от ограничения гессиана этого отображения (см. упр. 20.2 выше). Упражнение 20.3. Докажите, что

Следовательно, из неравенства (20.13) следует, что

поэтому

Более того, так как получаем

Теперь вычислим размерность неотрицательного подпространства квадратичной формы Так как регулярное значение имеем

Поэтому может иметь размерность или Но критическая точка поэтому

и

Следовательно, поэтому что противоречит условию данной леммы.

Поэтому случай невозможен, и шаг индукции данной леммы доказан.

Теорема 20.3 полностью доказана.