Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
20.2. Локальная открытость отображенийОтображение
для любой окрестности
для некоторой окрестности Точка и 20.2.1. Критические точки коранга один.Коранг критической точки и гладкого отображения
В дальнейшем мы будем часто рассматривать критические точки коранга один. В этом случае множитель Лагранжа
определен однозначно с точностью до ненулевого множителя, и отображение
есть просто квадратичная форма (в случае Сформулируем условия локальной открытости отображения Теорема 20.1. Пусть (1) Если квадратичная форма (2) Если форма Замечание. Квадратичная форма локально открыта в нуле тогда и только тогда, когда она знакопеременна. Доказательство. Утверждения теоремы локальны, поэтому выберем локальные координаты в (1) Рассмотрим разложение в прямую сумму в прообразе
и соответствующее разложение в образе
Квадратичная форма
что
мы обозначаем через Так как первый дифференциал задает изоморфизм
то существует такой вектор
Введем следующее семейство отображений:
Заметим, что
для малых
следует, что семейство По теореме о неявной функции отображения (2) Возьмем любое гладкое конечномерное подмногообразие
и в образе
Так как дифференциал
Далее, можно выбрать такие координаты
Выпишем условия данной теоремы в этих координатах. Так как
Далее, условие отрицательности формы
Тогда функция
Поэтому отображение Справедливо следующее предложение, гораздо более сильное, чем предыдущее. Теорема 20.2 (обобщенная лемма Морса). Пусть и Тогда существуют локальные координаты
Мы не доказываем эту теорему, так как не будем ее использовать в дальнейшем. 20.2.2. Критические точки произвольного коранга.Необходимое условие локальной открытости пункта (1) теоремы 20.1 обобщается для критических точек произвольного коранга. Напомним, что положительным (отрицательным) индексом квадратичной формы
Теорема 20.3. Пусть Если
то отображение Доказательство. Утверждение теоремы локально, поэтому можно выбрать координаты и считать, что Более того, можно считать, что пространство
что
Будем брать
Для любого Выберем конечное покрытие:
Тогда ограничение Лемма 20.1. Пусть
имеет регулярный нуль:
Тогда отображение Доказательство. Слегка модифицируем рассуждение, использованное при доказательстве пункта (1) теоремы 20.1. Разложим прообраз первого дифференциала:
тогда ограничение
взаимно однозначно. Равенство
Тогда существует такое
Определим семейство отображений
Первые четыре производные
Затем рассуждаем так же, как в теореме 20.1. Семейство Лемма 20.2. Пусть
Тогда отображение Доказательство. Можно предполагать, что у квадратичной формы
Если это не так, профакторизуем по ядру В случае Шаг индукции: докажем утверждение леммы для произвольного (1) Предположим сначала, что
Рассмотрим гессиан отображения
Второй дифференциал квадратичного отображения равен удвоенному этому отображению, поэтому
Далее, так как
По предположению индукции квадратичное отображение (2) Теперь рассмотрим второй случай: (2.6а) Очевидно, что (2.6) Более того, можно считать, что
Тогда
Гладкое отображение
сюръективно. По теореме Сарда оно имеет регулярное значение. Пусть Далее рассуждаем следующим образом. Найдем наименьшее
и применим условия оптимальности к соответствующему решению Рассмотрим следующую конечномерную задачу оптимизации со связями:
Очевидно, что эта задача имеет решение; пусть пара
что функция Лагранжа
удовлетворяет условиям стационарности:
Так как
Тогда необходимые условия оптимальности для задачи (20.11) записываются как
Напомним, что гессиан ограничения отображения отличен от ограничения гессиана этого отображения (см. упр. 20.2 выше). Упражнение 20.3. Докажите, что
Следовательно, из неравенства (20.13) следует, что
поэтому
Более того, так как
Теперь вычислим размерность неотрицательного подпространства
Поэтому
и
Следовательно, Поэтому случай Теорема 20.3 полностью доказана.
|
1 |
Оглавление
|