5.2. Погруженные подмногообразия
Определение 5.1. Подмножество 
гладкого n-мерного многообразия называется погруженным k-мерным подмногообразием многообразия 
к 
если существует взаимно однозначное погружение
гладкого k-мерного многообразия 
такое, что
Замечание. Погруженное подмногообразие 
многообразия 
можно также определить как многообразие, содержащееся в 
такое, что отображение включения
есть погружение.
Достаточно малые окрестности 
в погруженном подмногообразии 
многообразия 
являются подмногообразиями в 
но все 
может и не быть подмногообразием в 
в смысле определения 1.1. Вообще говоря, топология 
может быть сильнее, чем топология, индуцированная на 
топологией 
Рис. 5.3. Погруженное многообразие
Пример 5.1. Пусть 
взаимно однозначное погружение прямой в плоскость такое, что 
Тогда 
погруженное одномерное подмногообразие 
(рис. 5.3). Топология 
унаследованная от 
сильнее, чем топология, индуцированная 
Интервалы 
при достаточно малых 
в первой топологии открыты, а во второй нет.
Понятие погруженного подмногообразия неизбежно возникает при описании орбит семейств векторных полей. Уже орбита одного векторного поля (т. е. его траектория) есть погруженное подмногообразие и может не быть подмногообразием в смысле определения 1.1.
Пример 5.2. Осциллятор с двумя степенями свободы описывается уравнениями
В комплексных переменных
эти уравнения имеют вид
поэтому они имеют решения
Любое решение 
уравнений (5.1) принадлежит некоторому инвариантному тору
Любой такой тор параметризуется аргументами чисел 
по модулю 
поэтому он является группой: 
Введем новый параметр 
Тогда траектории 
становятся образами прямой 
при погружении
а поэтому — погруженными подмногообразиями тора.
Если отношение 
иррационально, то траектории всюду плотны в торе: они образуют иррациональную обмотку тора. В этом случае траектории, т. е. орбиты соответствующего векторного поля, являются не подмногообразиями, а всего лишь погруженными подмногообразиями.
Замечание. Погруженные подмногообразия наследуют многие локальные свойства подмногообразий. В частности, касательное пространство погруженного подмногообразия 
где 
погружение, задается как
Далее, легко доказать следующее свойство произвольного векторного поля 
для всех 
достаточно близких к 0.
