5.2. Погруженные подмногообразия
Определение 5.1. Подмножество
гладкого n-мерного многообразия называется погруженным k-мерным подмногообразием многообразия
к
если существует взаимно однозначное погружение
гладкого k-мерного многообразия
такое, что
Замечание. Погруженное подмногообразие
многообразия
можно также определить как многообразие, содержащееся в
такое, что отображение включения
есть погружение.
Достаточно малые окрестности
в погруженном подмногообразии
многообразия
являются подмногообразиями в
но все
может и не быть подмногообразием в
в смысле определения 1.1. Вообще говоря, топология
может быть сильнее, чем топология, индуцированная на
топологией
Рис. 5.3. Погруженное многообразие
Пример 5.1. Пусть
взаимно однозначное погружение прямой в плоскость такое, что
Тогда
погруженное одномерное подмногообразие
(рис. 5.3). Топология
унаследованная от
сильнее, чем топология, индуцированная
Интервалы
при достаточно малых
в первой топологии открыты, а во второй нет.
Понятие погруженного подмногообразия неизбежно возникает при описании орбит семейств векторных полей. Уже орбита одного векторного поля (т. е. его траектория) есть погруженное подмногообразие и может не быть подмногообразием в смысле определения 1.1.
Пример 5.2. Осциллятор с двумя степенями свободы описывается уравнениями
В комплексных переменных
эти уравнения имеют вид
поэтому они имеют решения
Любое решение
уравнений (5.1) принадлежит некоторому инвариантному тору
Любой такой тор параметризуется аргументами чисел
по модулю
поэтому он является группой:
Введем новый параметр
Тогда траектории
становятся образами прямой
при погружении
а поэтому — погруженными подмногообразиями тора.
Если отношение
иррационально, то траектории всюду плотны в торе: они образуют иррациональную обмотку тора. В этом случае траектории, т. е. орбиты соответствующего векторного поля, являются не подмногообразиями, а всего лишь погруженными подмногообразиями.
Замечание. Погруженные подмногообразия наследуют многие локальные свойства подмногообразий. В частности, касательное пространство погруженного подмногообразия
где
погружение, задается как
Далее, легко доказать следующее свойство произвольного векторного поля
для всех
достаточно близких к 0.