5.2. Погруженные подмногообразия

Определение 5.1. Подмножество гладкого n-мерного многообразия называется погруженным k-мерным подмногообразием многообразия к если существует взаимно однозначное погружение

гладкого k-мерного многообразия такое, что

Замечание. Погруженное подмногообразие многообразия можно также определить как многообразие, содержащееся в такое, что отображение включения

есть погружение.

Достаточно малые окрестности в погруженном подмногообразии многообразия являются подмногообразиями в но все может и не быть подмногообразием в в смысле определения 1.1. Вообще говоря, топология может быть сильнее, чем топология, индуцированная на топологией

Рис. 5.3. Погруженное многообразие

Пример 5.1. Пусть взаимно однозначное погружение прямой в плоскость такое, что Тогда погруженное одномерное подмногообразие (рис. 5.3). Топология унаследованная от сильнее, чем топология, индуцированная Интервалы при достаточно малых в первой топологии открыты, а во второй нет.

Понятие погруженного подмногообразия неизбежно возникает при описании орбит семейств векторных полей. Уже орбита одного векторного поля (т. е. его траектория) есть погруженное подмногообразие и может не быть подмногообразием в смысле определения 1.1.

Пример 5.2. Осциллятор с двумя степенями свободы описывается уравнениями

В комплексных переменных

эти уравнения имеют вид

поэтому они имеют решения

Любое решение уравнений (5.1) принадлежит некоторому инвариантному тору

Любой такой тор параметризуется аргументами чисел по модулю поэтому он является группой:

Введем новый параметр Тогда траектории становятся образами прямой при погружении

а поэтому — погруженными подмногообразиями тора.

Если отношение иррационально, то траектории всюду плотны в торе: они образуют иррациональную обмотку тора. В этом случае траектории, т. е. орбиты соответствующего векторного поля, являются не подмногообразиями, а всего лишь погруженными подмногообразиями.

Замечание. Погруженные подмногообразия наследуют многие локальные свойства подмногообразий. В частности, касательное пространство погруженного подмногообразия где погружение, задается как

Далее, легко доказать следующее свойство произвольного векторного поля

для всех достаточно близких к 0.